Seja
f(x, y)=l x^3 y-x y^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0), 0, se (x, y)=(0,0)
(b) Quanto vale fx(1,1) e fy(1,1) ? Determine o plano tangente a f(x, y) que passa pelo ponto (1,1,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^3y - x y^3x^2+y^2, &se ((x,y)neq(0,0)), 0, &se ((x,y)=(0,0)),
e pede as derivadas parciais ,fx(1,1) e ,fy(1,1) e o plano tangente em (1,1,0).
Para isso vamos usar a regra do quociente para derivadas parciais e a fórmula do plano tangente
z = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0) + f(x0,y0)

Passo 2

Defina
N(x,y) = x^3y - xy^3, D(x,y) = x^2 + y^2,
então
f(x,y) = N(x,y)D(x,y)
Pela regra do quociente,
fx = Nx,D - N,DxD^2
Calculamos as derivadas parciais de N e D:
Nx = 3x^2y - y^3, Dx = 2x
Em (1,1) temos
N(1,1) = 1^3cdot1 - 1cdot1^3 = 0, D(1,1) = 1^2 + 1^2 = 2,
Nx(1,1) = 3cdot1^2cdot1 - 1^3 = 2, Dx(1,1)=2
Logo
fx(1,1) = 2cdot2 - 0cdot22^2 = 44 = 1

Passo 3

De modo análogo, pela regra do quociente
fy = Ny,D - N,DyD^2,
com
Ny = x^3 - 3xy^2, Dy = 2y
Em (1,1) obtemos
Ny(1,1) = 1^3 - 3cdot1cdot1^2 = -2, Dy(1,1)=2,
e como N(1,1)=0 e D(1,1)=2,
fy(1,1) = -2cdot2 - 0cdot22^2 = -44 = -1

Passo 4

O valor da função em (1,1) é
f(1,1) = 1^3cdot1 - 1cdot1^31^2+1^2 = 0
Portanto, o plano tangente em (x0,y0,z0)=(1,1,0) é
z = fx(1,1),(x-1) + fy(1,1),(y-1) + f(1,1),
isto é,
boxedz = 1,(x-1) + (-1),(y-1) = x - y

Resposta

fx(1,1) = 1, fy(1,1) = -1,
plano tangente: z = x - y

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