Considere as funções vetoriais
do
, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
no espaço 3D, e precisamos calcular o limite dela quando
se aproxima de 2. Para isso, vamos analisar cada componente da função separadamente. Vamos precisar saber como calcular limites de frações e, às vezes, usar a regra de L’Hôpital quando encontramos uma forma indeterminada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a componente que está na direção
:
Quando
se aproxima de 2, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0, o que dá uma forma
. Isso significa que podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Agora, aplicando a regra de L’Hôpital:
Passo 3
Agora, vamos analisar a componente na direção
:
Vamos simplificar essa fração. Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador.
Fatorando o numerador:
Fatorando o denominador:
Então, a fração fica:
Agora, podemos simplificar cancelando
, já que
próximo de 2.
Então, substituímos
por 2:
Resposta
O limite da função vetorial
quando
se aproxima de 2 é: