Considere as funções vetoriais f do R^3, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando t → t0 :
vec(f)(t) = (raiz(t) - raiz(2)) / (t - 2) * j + (8 - t^3) / (4 - t^2) * k, t0 = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial f(t) no espaço 3D, e precisamos calcular o limite dela quando t se aproxima de 2. Para isso, vamos analisar cada componente da função separadamente. Vamos precisar saber como calcular limites de frações e, às vezes, usar a regra de L’Hôpital quando encontramos uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente que está na direção :
Quando t se aproxima de 2, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0, o que dá uma forma 0/0. Isso significa que podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Agora, aplicando a regra de L’Hôpital:

Passo 3

Agora, vamos analisar a componente na direção :
Vamos simplificar essa fração. Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador.
Fatorando o numerador:
Fatorando o denominador:
Então, a fração fica:
Agora, podemos simplificar cancelando , já que próximo de 2.
Então, substituímos t por 2:

Resposta

O limite da função vetorial f(t) quando t se aproxima de 2 é:

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