Considere as funções:
Mostre que ambas são soluções de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de Euler–Cauchy
e pede para verificar que as funções
são soluções em
. Para isso, basta calcular
e
de cada função, substituir na equação e mostrar que a identidade se anula.
Passo 2
Verificação para
. Primeiro derivamos:
Agora substituímos na equação:
Logo
satisfaz a equação para todo
.
Passo 3
Análise de
. Como
é piecewise, tratamos separadamente
,
e depois
.
Passo 4
Para
temos
, logo
Isto é exatamente o caso de
, portanto já vimos que aí
Passo 5
Para
temos
, logo
Derivando,
Substituindo na equação:
Logo a equação também se anula para
.
Passo 6
Em
temos
. Embora
não exista como clássico, note que o lado esquerdo da equação é
de modo que a fórmula
vale em
por inspeção.
Resposta
Ambas as funções
e
satisfazem
em
.