Considere as funções:
y1(x)=x^2 e y2(x)=x|x|
Mostre que ambas são soluções de x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0 em R.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^2y''-2x y'+2y=0
e pede para verificar que as funções
y1(x)=x^2 e y2(x)=xlvert xrvert
são soluções em R. Para isso, basta calcular y' e y'' de cada função, substituir na equação e mostrar que a identidade se anula.

Passo 2

Verificação para y1(x)=x^2. Primeiro derivamos:
y1'(x)=2x, y1''(x)=2
Agora substituímos na equação:
x^2cdot2 ;-;2xcdot(2x);+;2cdot(x^2) =2x^2-4x^2+2x^2=0
Logo y1 satisfaz a equação para todo x.

Passo 3

Análise de y2(x)=xlvert xrvert. Como lvert xrvert é piecewise, tratamos separadamente x>0, x<0 e depois x=0.

Passo 4

Para x>0 temos lvert xrvert=x, logo
y2(x)=xcdot x=x^2
Isto é exatamente o caso de y1, portanto já vimos que aí
x^2y2''-2x y2'+2y2=0

Passo 5

Para x<0 temos lvert xrvert=-x, logo
y2(x)=xcdot(-x)=-x^2
Derivando,
y2'(x)=-2x, y2''(x)=-2
Substituindo na equação:
x^2cdot(-2);-;2xcdot(-2x);+;2cdot(-x^2) =-2x^2+4x^2-2x^2=0
Logo a equação também se anula para x<0.

Passo 6

Em x=0 temos y2(0)=0. Embora y2''(0) não exista como clássico, note que o lado esquerdo da equação é
0^2,y''(0)-2cdot0,y'(0)+2,y(0)=0-0+0=0,
de modo que a fórmula 0=0 vale em x=0 por inspeção.

Resposta

Ambas as funções y1(x)=x^2 e y2(x)=xlvert xrvert satisfazem
x^2y''-2x y'+2y=0
em R.

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