Exercício 3 (2,5). Use a regra de L’Hopital para resolver os limites a seguir:
(a)
(b) Encontre
derivando implicitamente:
(a)
Passo 1
O enunciado contém duas partes:
- (a) calcular
usando a regra de L’Hôpital quando tivermos uma forma
ou
.
- (b) encontrar
a partir da equação implícita
usando diferenciação implícita e regras de derivada de raiz quadrada.
Passo 2
Para (a), note que ao escrever
tanto o numerador
quanto o denominador
vão a zero quando
. Assim temos forma
e podemos aplicar L’Hôpital, ou analisar a série de Taylor de
.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a
:
numerador ,
denominador .
Logo o limite vira
numerador
denominador
Logo o limite vira
Passo 4
Avalie o limite acima em
:
e
.
Assim
Assim
Portanto
Passo 5
Para (b), comece diferenciando membro a membro
Use
tfracddxraizu=tfracu'2raizu .
Derivando:
Derivando:
Passo 6
Multiplique tudo por
2raizx-y,raizx^2y para eliminar denominadores:
Substitua
raizx^2y=xraizy e agrupe os termos em
y' :
Isole
y' :
Logo
Resposta
(a)
0
(b) dydx =raizy+2yraizx-yraizy-xraizx-y
(b)