Exercício 3 (2,5). Use a regra de L’Hopital para resolver os limites a seguir:
(a)
lim x 0^+(1x-1sen x)
(b) Encontre d y / d x derivando implicitamente:
raizx-y+raizx^2 y=3

Passo 1

O enunciado contém duas partes:
  • (a) calcular
limxto0^+l(tfrac1x-tfrac1sin xr)
usando a regra de L’Hôpital quando tivermos uma forma tfrac00 ou tfracinftyinfty.
  • (b) encontrar tfracdydx a partir da equação implícita
raizx-y+raizx^2y=3
usando diferenciação implícita e regras de derivada de raiz quadrada.

Passo 2

Para (a), note que ao escrever
1x-1sin x =sin x - x,x,sin x,
tanto o numerador sin x - x quanto o denominador xsin x vão a zero quando xto0^+. Assim temos forma tfrac00 e podemos aplicar L’Hôpital, ou analisar a série de Taylor de sin x.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
numerador ddx(sin x - x)=cos x - 1,
denominador ddx(xsin x)=sin x + xcos x.
Logo o limite vira
limxto0^+ cos x - 1sin x + xcos x

Passo 4

Avalie o limite acima em xto0:
cos x - 1approx -tfracx^22 e sin x + xcos xapprox x + xcdot1 = 2x.
Assim
cos x - 1sin x + xcos x ;approx; -tfracx^222x =,-x4 ;xrightarrow[xto0];0
Portanto
limxto0^+l(tfrac1x-tfrac1sin xr)=0

Passo 5

Para (b), comece diferenciando membro a membro
raizx-y+raizx^2y=3
Use tfracddxraizu=tfracu'2raizu.
Derivando:
1 - y'2raizx-y ;+; 2x,y + x^2,y'2raizx^2y =0

Passo 6

Multiplique tudo por 2raizx-y,raizx^2y para eliminar denominadores:
(1 - y'),raizx^2y ;+; (2x,y + x^2,y'),raizx-y =0
Substitua raizx^2y=xraizy e agrupe os termos em y':
xraizy-xraizy,y' +2x,yraizx-y+x^2raizx-y,y'=0
Isole y':
y'l(x^2raizx-y-xraizyr) =-l(xraizy+2x,yraizx-yr)
Logo
y' = -xraizy+2x,yraizx-y x^2raizx-y-xraizy =raizy+2yraizx-yraizy-xraizx-y

Resposta

(a) 0
(b) dydx =raizy+2yraizx-yraizy-xraizx-y

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