Exercício 4 (2,5). Derive:
f(x)=x^(cos x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^cos x. O conteúdo aqui é derivação de função na forma a(x)^b(x), e vamos usar log-diferenciação, que consiste em tomar o logaritmo natural de f para facilitar a derivação.

Passo 2

Tomamos logaritmo em ambos os lados:
ln f(x) = lnl(x^cos xr)
Pela propriedade de potências,
ln f(x) = cos x ,ln x

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usa-se a regra da cadeia, e no direito a regra do produto:
f'(x)f(x) = ddxl[cos x ,ln xr] = -sin xcdotln x + cos xcdot1x

Passo 4

Isolamos f'(x) multiplicando por f(x) e substituímos f(x)=x^cos x:
f'(x) = x^cos x,l(-sin x,ln x + cos xxr)

Resposta

f'(x) = x^cos xl(-sin x ,ln x + tfraccos xxr)

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