Considere a fungrio definida por:
f(x)=ll x^2 sen(pix), & se x neq 0 A, & se x=0
Dê a definiçĩo de funçĩo contínua e encontre o valor de A para que 'a função scja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e queremos descobrir qual valor de A faz essa função ser contínua. O assunto aqui é continuidade de funções, e vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função f(x) é contínua em um ponto c se três condições forem verdadeiras:
  1. f(c) está definida.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de c existe.
  3. O limite de f(x) quando x se aproxima de c é igual a f(c) .
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em x = 0 .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função perto de [x = 0). A função está definida por:
Para a continuidade em (x = 0], precisamos que:

Passo 4

Vamos calcular o limite:
limx to 0 x^2 sin(pix)
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin(pix) <= 1
Multiplicando tudo por x^2 (que é positivo), temos:
- x^2 <= x^2 sin(pix) <= x^2

Passo 5

Agora, usamos o Teorema do Sandwich (ou Teorema do Aperto). Se limx to 0 -x^2 = 0 e limx to 0 x^2 = 0 , então:
limx to 0 x^2 sin(pix) = 0

Passo 6

Como o limite é 0, para que a função seja contínua em x = 0 , precisamos que:
A = 0

Resposta

O valor de A que torna a função contínua é 0.

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