Considere a fungrio definida por:
Dê a definiçĩo de funçĩo contínua e encontre o valor de
para que 'a função scja contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e queremos descobrir qual valor de
faz essa função ser contínua. O assunto aqui é continuidade de funções, e vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem verdadeiras:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função perto de [x = 0). A função está definida por:
Para a continuidade em (x = 0], precisamos que:
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando tudo por
(que é positivo), temos:
Passo 5
Agora, usamos o Teorema do Sandwich (ou Teorema do Aperto). Se
e
, então:
Passo 6
Como o limite é 0, para que a função seja contínua em
, precisamos que:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua é 0.