Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
R é a região no primeiro quadrante limitada pelo eixo
, pela reta
e pelo círculo
.
R é a região no primeiro quadrante limitada pelo eixo
Passo 1
O enunciado pede a área da região
no primeiro quadrante limitada por três curvas:
- O eixo
(ou seja, ). - A reta
. - O círculo
.
Esse tipo de problema é mais direto em coordenadas polares, onde, e o elemento de área é .
Passo 2
Primeiro encontramos onde a reta e o círculo se intersectam. Substituindo
em
, temos
No primeiro quadrante
, logo
. Esse ponto em polares tem
Também vemos que o eixo
corresponde a
.
Passo 3
Em coordenadas polares, a região
é exatamente o setor de raio
variando de
a
e ângulo
variando de
a
. Assim o integral da área fica
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em
:
Então
Resposta
A área da região
é
.