Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
R é a região no primeiro quadrante limitada pelo eixo x, pela reta y=raiz3 x e pelo círculo x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R no primeiro quadrante limitada por três curvas:
  1. O eixo x (ou seja, y=0).
  2. A reta y=raiz3,x.
  3. O círculo x^2+y^2=4.
    Esse tipo de problema é mais direto em coordenadas polares, onde x=rcostheta, y=rsintheta e o elemento de área é dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Primeiro encontramos onde a reta e o círculo se intersectam. Substituindo y=raiz3,x em x^2+y^2=4, temos
x^2+(raiz3,x)^2=4
x^2+3x^2=4
4x^2=4
x^2=1
No primeiro quadrante x=1, logo y=raiz3. Esse ponto em polares tem
r=raiz1^2+(raiz3)^2=2, theta=arctanl(tfracraiz31r)=tfracpi3
Também vemos que o eixo x corresponde a theta=0.

Passo 3

Em coordenadas polares, a região R é exatamente o setor de raio r variando de 0 a 2 e ângulo theta variando de 0 a pi/3. Assim o integral da área fica
Area(R) =integraltheta=0^pi/3integralr=0^2r,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em r:
integralr=0^2r,dr =l[tfracr^22r]0^2 =tfrac2^22 =2
Então
Area(R) =integral0^pi/32,dtheta =2l[thetar]0^pi/3 =2cdottfracpi3 =tfrac2pi3

Resposta

A área da região R é tfrac2pi3.

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