Considere um futuro motor a propulsão baseado na aniquilação par elétron-pósitron \left(e^{-}+e^{+} \rightarrow 2 \gamma\right). (a) Calcule a energia liberada na aniquilação de 1,0 \mathrm{~g} dessa mistura combustível ( 0,5 \mathrm{~g} de cada). (b) Compare este valor com a energia liberada pela combustão de 1,0 \mathrm{~kg} de gasolina (poder calorífico \approx 44 M J / k g ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Calcular a energia liberada na aniquilação de 1{,}0\\ \text{g} de uma mistura formada por 0{,}5\\ \text{g} de elétrons e 0{,}5\\ \text{g} de pósitrons (ou seja, massa total aniquilada 1{,}0\\ \text{g}).
  • (b) Comparar essa energia com a energia liberada na combustão de 1{,}0\\ \text{kg} de gasolina, sabendo que o poder calorífico da gasolina é aproximadamente 44\\ \text{MJ/kg}.
Informações relevantes dadas:
  • Massa total a ser aniquilada: 1{,}0\\ \text{g}.
  • Poder calorífico da gasolina: 44\\ \text{MJ/kg}.
  • Na aniquilação e^{-}+e^{+}\rightarrow 2\gamma a massa de repouso das partículas é convertida em energia (fótons).

Passo 2

Conceito físico básico que vamos usar: a relação de equivalência massa-energia de Einstein,
E = m c^2,
onde:
  • E é a energia liberada (em joules, \text{J}),
  • m é a massa convertida em energia (em quilogramas, \text{kg}),
  • c é a velocidade da luz no vácuo (em metros por segundo, \text{m/s}).
Explicação didática: essa fórmula diz que massa de repouso é “energia armazenada”. Na aniquilação completa de um elétron com um pósitron, as massas de repouso de ambos (somadas) são transformadas em fótons; portanto, se aniquilarmos 1{,}0\\ \text{g} de matéria/antimatéria, toda essa massa (assumindo conversão completa) vira energia dada por E=mc^2.

Passo 3

Primeiro convertemos unidades para o Sistema Internacional:
  • 1{,}0\\ \text{g} = 0{,}001\\ \text{kg}.
Valor numérico da velocidade da luz (usado aqui):
c = 299\,792\,458\\ \text{m/s}.
Calcula-se c^2:
c^2 = (299\,792\,458\\ \text{m/s})^2 \approx 8{,}98755179\times10^{16}\\ \text{m}^2\!/\text{s}^2.

Passo 4

Agora aplicamos E=mc^2 com m=0{,}001\\ \text{kg}:
E = m c^2 = 0{,}001\times 8{,}98755179\times10^{16}\\ \text{J}.
Fazendo a multiplicação por potências de dez:
E \approx 8{,}98755179\times10^{13}\\ \text{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
E \approx 8{,}99\times10^{13}\\ \text{J}.
Dica prática: é comum lembrar que 1\\ \text{kg} totalmente convertida dá \approx 9{,}0\times10^{16}\\ \text{J}; então 1{,}0\\ \text{g}=10^{-3}\\ \text{kg} \approx 9{,}0\times10^{13}\\ \text{J}.

Passo 5

Calcular a energia liberada pela combustão de 1{,}0\\ \text{kg} de gasolina:
  • Poder calorífico =44\\ \text{MJ/kg}=44\times10^{6}\\ \text{J/kg}.
    Logo, para 1{,}0\\ \text{kg}:
E_{\text{gasolina}} = 44\times10^{6}\\ \text{J} = 4{,}4\times10^{7}\\ \text{J}.

Passo 6

Comparação: razão entre as energias
\text{razão}=\frac{E_{\text{aniquilação}}}{E_{\text{gasolina}}} = \frac{8{,}98755179\times10^{13}}{4{,}4\times10^{7}}.ãçã
Dividindo potências de dez e coeficientes:
\text{razão}\approx \frac{8{,}98755179}{4{,}4}\times10^{13-7} \approx 2{,}04353\times10^{6}.ã
Arredondando:
\text{razão}\approx 2{,}0\times10^{6}.ã
Interpretação: a aniquilação de 1{,}0\\ \text{g} de elétrons+pósitrons libera cerca de 2{,}0\times10^{6} vezes a energia liberada pela queima de 1{,}0\\ \text{kg} de gasolina.

Passo 7

Comentário adicional de contexto (útil para prova): em outra forma de comparação, a energia da aniquilação corresponde à energia liberada pela combustão de cerca de
\frac{8{,}99\times10^{13}\\ \text{J}}{44\times10^{6}\\ \text{J/kg}}\approx 2{,}0\times10^{6}\\ \text{kg}
de gasolina — isto é, aproximadamente dois milhões de quilogramas de gasolina. Isso ilustra a altíssima densidade energética da conversão massa–energia.

Resposta

(a) E \approx 8{,}99\times10^{13}\\ \text{J}.
(b) A energia da aniquilação é aproximadamente 2{,}0\times10^{6} vezes maior que a energia liberada pela combustão de 1{,}0\\ \text{kg} de gasolina ( 4{,}4\times10^{7}\\ \text{J}).

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