Considere uma partícula confinada dentro de uma caixa na forma de um cubo de arestas
. Os possíveis níveis de energia desta partícula estão dados por
(a) Suponha que a partícula esteja em um determinado estado especificado por valores dos três inteiros
e
. Considerando como a energia de este estado deve mudar quando o comprimento
da caixa é alterado quase estaticamente por uma pequena quantidade
, mostram que a força exercida pela partícula neste estado em uma parede perpendicular ao eixo
é dado por
. (b) Calcule explicitamente a força por unidade de área (ou pressão) nesta parede. Calculando a média de todos os estados possíveis, encontre uma expressão para a pressão média nesta parede. (Explorar a propriedade de que os valores médios
devem ser todos iguais por simetria.) Mostre que esta pressão média pode ser simplesmente expressa em termos da energia média
da partícula e o volume
da caixa.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula num cubo com arestas iguais
. Os níveis de energia são
As questões são:
- (a) Mostrar que, se a parede perpendicular ao eixo
é movida quase estaticamente por , a força exercida pela partícula nessa parede é . - (b) Calcular explicitamente a pressão (força por área) nessa parede para um estado
; depois tomar a média sobre estados possíveis (usando a simetria ) e escrever a pressão média em função da energia média e do volume .
Passo 2
Intuição física e sinais (por que aparece
). Quando a parede se desloca lentamente (quase estaticamente), não há transições de nível bruscas: o nível de energia muda continuamente. A variação infinitesimal da energia da partícula é
. A energia ganha/perde pela partícula é igual ao trabalho realizado sobre ela pelo agente externo que move a parede. O trabalho realizado pela partícula sobre a parede (força da partícula sobre a parede) quando a parede se desloca
é
. Pelo balanço de energia:
Dividindo por
(e tomando derivada parcial com as demais dimensões fixas) obtemos
que é exatamente a relação pedida. (Resumo: energia muda quando a caixa varia; essa mudança é o negativo do trabalho realizado pela partícula.)
Passo 3
Cálculo explícito da derivada. Partindo de
derivando em relação a
(mantendo
e
fixos) temos
Pelo Passo 2, a força é
Observe que
é positivo (empurra a parede para fora) quando
diminui a energia.
Passo 4
Pressão na parede para um estado particular. A pressão é força por unidade de área. A parede perpendicular ao eixo
tem área
. Portanto, para o estado
,
No caso do cubo com
isto simplifica para
Passo 5
Pressão média sobre todos os estados (simetria). Seja
a média sobre os estados relevantes (por exemplo, média estatística com algum peso). Por simetria do cubo,
Para a pressão média na parede
usamos a expressão geral (não necessariamente cúbica ainda)
Mas é útil relacionar
com a energia média
.
Passo 6
Relacionando
com
. Para o cubo (
) a energia pode ser escrita como
Tomando média dos dois lados e usando a igualdade das médias dos quadrados dos índices,
Isolando
:
Passo 7
Substituindo na expressão da pressão média. Para o cubo, a expressão do Passo 5 era (com
)
Substituindo
do Passo 6:
Como o volume é
, obtemos a forma compacta e importante
Isto é análogo à relação clássica entre pressão e energia em sistemas de partículas (energia interna por volume), mas aqui obtido diretamente dos níveis quânticos de uma partícula na caixa.