As superfícies equipotenciais associadas a um dipolo elétrico são
Escolha uma opção:
◯ a. planos perpendiculares ao momento do dipolo.
◯ b. esferas com o centro no dipolo.
◯ c. Nenhuma das respostas.
◯ d. cilindros cujo eixo coincide com o momento do dipolo.
◯ e. planos paralelos ao momento do dipolo.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a forma das superfícies equipotenciais associadas a um dipolo elétrico e dá as opções (a) planos perpendiculares ao momento do dipolo, (b) esferas com o centro no dipolo, (c) nenhuma das respostas, (d) cilindros cujo eixo coincide com o momento do dipolo, (e) planos paralelos ao momento do dipolo.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado: há um dipolo elétrico (duas cargas opostas muito próximas) e quer-se a forma das superfícies onde o potencial elétrico é constante.

Passo 2

Definir claramente o modelo do dipolo e as variáveis que vamos usar. Considere dois pontos no eixo z: uma carga +q em z=+a e uma carga -q em z=-a. O ponto onde medimos o potencial tem coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), onde:
  • r é a distância do ponto à origem (meio do dipolo),
  • \theta é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ângulo polar),
  • \varphi é o ângulo azimutal (não entra por simetria axial aqui).
    O momento de dipolo é o vetor \mathbf{p} com módulo p dado por
p = q\cdot(2a),
e direção ao longo do eixo z (do negativo para o positivo).

Passo 3

Escrever o potencial elétrico exato por superposição das duas cargas e depois a forma aproximada para pontos longe do dipolo (caso usual estudado em provas). Pela superposição:
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r_+}-\frac{q}{r_-}\right),
onde r_+ é a distância do ponto até a carga +q e r_- até a carga -q. Em coordenadas esféricas:
r_\pm=\sqrt{r^2\pm 2ar\cos\theta + a^2}.
Para r\gg a (campo distante, que é a aproximação de dipolo usada em quase todos os problemas teóricos), podemos aproximar 1/r_\pm por expansão em potência de a/r. Usando a expansão binomial para \sqrt{1\pm \varepsilon} com \varepsilon\ll1, tem-se a primeira ordem:
\frac{1}{r_\pm}\approx\frac{1}{r}\mp\frac{a\cos\theta}{r^2}+\mathcal{O}\!\left(\frac{a^2}{r^3}\right).
Substituindo na expressão do potencial e mantendo a ordem dominante em a/r:
V(\mathbf{r})\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\left( \frac{1}{r_+}-\frac{1}{r_-}\right)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2qa\cos\theta}{r^2}.
Reconhecendo p=2qa, obtemos a forma padrão do potencial de um dipolo:
V(\mathbf{r})\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p\cos\theta}{r^2}.
Expliquei cada símbolo: V é o potencial elétrico, \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, p é o módulo do momento de dipolo, r é distância ao centro e \theta é o ângulo polar.

Passo 4

Determinar as superfícies equipotenciais: elas são os locais onde V(\mathbf r) é constante. Seja V_0 um valor constante de potencial; a condição é
V_0=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p\cos\theta}{r^2}.
Isolando r em função de \theta:
r^2=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p\cos\theta}{V_0}.
Logo, para um V_0 fixo, r depende de \theta pela relação
r(\theta)=\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p\cos\theta}{V_0}}.
Isso descreve superfícies de revolução em torno do eixo do dipolo com formato r^2\propto\cos\theta. Notas importantes:
  • A dependência em \theta mostra que r varia com o ângulo: portanto as equipotenciais não são esferas (que exigiriam r= constante, independente de \theta).
  • Também não são cilindros cujo raio é independente de \theta (em cilindro o potencial seria função apenas da distância ao eixo, não de \theta).
  • Somente no caso especial V_0=0 a equação dá \cos\theta=0\Rightarrow\theta=\pi/2, que é o plano equatorial (um plano perpendicular ao eixo do dipolo). Porém isso é apenas a superfície de potencial nulo, não todas as equipotenciais.
    Portanto as equipotenciais típicas do dipolo têm formato angular r^2\propto\cos\theta, ou seja, superfícies curvas de revolução não pertencentes às formas simples das alternativas (planos paralelos, planos perpendiculares, esferas centrais ou cilindros).

Passo 5

Comparar com as alternativas:
  • (a) planos perpendiculares ao momento do dipolo: falso — apenas a superfície V=0 dá o plano \theta=\pi/2, mas as demais equipotenciais não são planos.
  • (b) esferas com centro no dipolo: falso — exigiria V depender apenas de r, o que não ocorre por causa do fator \cos\theta.
  • (d) cilindros cujo eixo coincide com o momento do dipolo: falso — cilindros têm potencial independente de \theta, não é o caso.
  • (e) planos paralelos ao momento do dipolo: falso — não aparecem como família de equipotenciais do dipolo.
    Logo a única opção correta é (c) Nenhuma das respostas.

Passo 6

Confirmação final e motivação curta para a prova: a forma padrão do potencial de dipolo \displaystyle V\propto\frac{\cos\theta}{r^2} é o que realmente manda — qualquer superfície V= constante dá r^2\propto\cos\theta, não sendo esfera, cilindro ou família de planos (exceto o caso isolado V_0=0 que dá um único plano). Guarde essa regra: dependência angular \cos\theta quebra a simetria radial pura das esferas e a simetria cilíndrica dos cilindros.

Resposta

(c)

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