As superfícies equipotenciais associadas a um dipolo elétrico são
Escolha uma opção:
◯ a. planos perpendiculares ao momento do dipolo.
◯ b. esferas com o centro no dipolo.
◯ c. Nenhuma das respostas.
◯ d. cilindros cujo eixo coincide com o momento do dipolo.
◯ e. planos paralelos ao momento do dipolo.
◯ a. planos perpendiculares ao momento do dipolo.
◯ b. esferas com o centro no dipolo.
◯ c. Nenhuma das respostas.
◯ d. cilindros cujo eixo coincide com o momento do dipolo.
◯ e. planos paralelos ao momento do dipolo.
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a forma das superfícies equipotenciais associadas a um dipolo elétrico e dá as opções (a) planos perpendiculares ao momento do dipolo, (b) esferas com o centro no dipolo, (c) nenhuma das respostas, (d) cilindros cujo eixo coincide com o momento do dipolo, (e) planos paralelos ao momento do dipolo.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado: há um dipolo elétrico (duas cargas opostas muito próximas) e quer-se a forma das superfícies onde o potencial elétrico é constante.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado: há um dipolo elétrico (duas cargas opostas muito próximas) e quer-se a forma das superfícies onde o potencial elétrico é constante.
Passo 2
Definir claramente o modelo do dipolo e as variáveis que vamos usar. Considere dois pontos no eixo
: uma carga
em
e uma carga
em
. O ponto onde medimos o potencial tem coordenadas esféricas
, onde:
-
é a distância do ponto à origem (meio do dipolo), -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (ângulo polar), -
é o ângulo azimutal (não entra por simetria axial aqui).
O momento de dipolo é o vetorcom módulo dado por
e direção ao longo do eixo
(do negativo para o positivo).
Passo 3
Escrever o potencial elétrico exato por superposição das duas cargas e depois a forma aproximada para pontos longe do dipolo (caso usual estudado em provas). Pela superposição:
onde
é a distância do ponto até a carga
e
até a carga
. Em coordenadas esféricas:
Para
(campo distante, que é a aproximação de dipolo usada em quase todos os problemas teóricos), podemos aproximar
por expansão em potência de
. Usando a expansão binomial para
com
, tem-se a primeira ordem:
Substituindo na expressão do potencial e mantendo a ordem dominante em
:
Reconhecendo
, obtemos a forma padrão do potencial de um dipolo:
Expliquei cada símbolo:
é o potencial elétrico,
é a permissividade do vácuo,
é o módulo do momento de dipolo,
é distância ao centro e
é o ângulo polar.
Passo 4
Determinar as superfícies equipotenciais: elas são os locais onde
é constante. Seja
um valor constante de potencial; a condição é
Isolando
em função de
:
Logo, para um
fixo,
depende de
pela relação
Isso descreve superfícies de revolução em torno do eixo do dipolo com formato
. Notas importantes:
- A dependência em
mostra que varia com o ângulo: portanto as equipotenciais não são esferas (que exigiriam constante, independente de ). - Também não são cilindros cujo raio é independente de
(em cilindro o potencial seria função apenas da distância ao eixo, não de ). - Somente no caso especial
a equação dá , que é o plano equatorial (um plano perpendicular ao eixo do dipolo). Porém isso é apenas a superfície de potencial nulo, não todas as equipotenciais.
Portanto as equipotenciais típicas do dipolo têm formato angular, ou seja, superfícies curvas de revolução não pertencentes às formas simples das alternativas (planos paralelos, planos perpendiculares, esferas centrais ou cilindros).
Passo 5
Comparar com as alternativas:
- (a) planos perpendiculares ao momento do dipolo: falso — apenas a superfície
dá o plano , mas as demais equipotenciais não são planos. - (b) esferas com centro no dipolo: falso — exigiria
depender apenas de , o que não ocorre por causa do fator . - (d) cilindros cujo eixo coincide com o momento do dipolo: falso — cilindros têm potencial independente de
, não é o caso. - (e) planos paralelos ao momento do dipolo: falso — não aparecem como família de equipotenciais do dipolo.
Logo a única opção correta é (c) Nenhuma das respostas.
Passo 6
Confirmação final e motivação curta para a prova: a forma padrão do potencial de dipolo
é o que realmente manda — qualquer superfície
constante dá
, não sendo esfera, cilindro ou família de planos (exceto o caso isolado
que dá um único plano). Guarde essa regra: dependência angular
quebra a simetria radial pura das esferas e a simetria cilíndrica dos cilindros.
Resposta
(c)