Considere um gás clássico composto por N partículas independentes e indistinguíveis em um volume V. O Hamiltoniano de uma partícula é h=p^2 /(2 m), sendo m a massa de uma partícula e p o seu momento. Além disso, para cada partícula, existem dois níveis internos de energia: um estado fundamental de energia 0 e degenerescência g1, e um estado excitado com energia E>0 e degenerescência g2.
(a) Obtenha a função de partição canónica.
(b) Encontre a capacidade calorífica CV como função da temperatura T.
© Analise o limite de baixas temperaturas e comente sobre o resultado final.

Passo 1

A questão fala de um gás clássico de N partículas indistinguíveis no volume V, cada partícula com energia cinética p^2/2m e dois níveis internos (energia 0 com degenerescência g1, e energia E > 0 com degenerescência g2). O conteúdo é termodinâmica estatística: precisamos montar a partição canônica e daí obter a energia interna e a capacidade calorífica.

Passo 2

Para uma única partícula, a função de partição é produto da parte translacional e da parte interna. A parte translacional num volume V é dada por
Zrm trans = Vlambda^3,
com o comprimento de onda térmico
lambda = hraiz2pi m kT
A parte interna vale
Zrm int = g1 + g2 e^-beta E,
onde beta=1/kT. Logo a partição de uma partícula é
Z1 = Zrm trans,Zrm int = Vlambda^3l(g1 + g2 e^-beta Er)

Passo 3

Como as partículas são clássicas e indistinguíveis, a função de partição do sistema é
ZN = 1N!,Z1^N = 1N![Vlambda^3l(g1 + g2 e^-beta Er)]^N

Passo 4

Para obter a capacidade calorífica, primeiro calculamos a energia interna
a partir de
U = -partialpartial betaln ZN
Isso conduz a
U = N(32kT + Eg2 e^-beta Eg1 + g2 e^-beta E)
Então
CV = (partial Upartial T)V = 32Nk + Nk,(beta E)^2,g1g2 e^-beta E(g1 + g2 e^-beta E)^2

Passo 5

No limite de baixas temperaturas ( Tto0, logo beta Egg1), temos e^-beta Eto0 e a parte interna congela. Assim
CV to 32Nk
pois as excitacões internas são suprimidas, restando apenas a contribuição translacional.

Resposta

Definindo lambda = h/raiz2pi m kT e beta=1/kT, temos
ZN = 1N![Vlambda^3l(g1 + g2 e^-beta Er)]^N,
CV = 32Nk + Nk,(beta E)^2,g1g2 e^-beta E(g1 + g2 e^-beta E)^2
No limite Tto0, resulta em
CV to tfrac32Nk

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