Considere um gás clássico composto por
partículas independentes e indistinguíveis em um volume
. O Hamiltoniano de uma partícula é
, sendo
a massa de uma partícula e p o seu momento. Além disso, para cada partícula, existem dois níveis internos de energia: um estado fundamental de energia 0 e degenerescência
, e um estado excitado com energia
e degenerescência
.
(a) Obtenha a função de partição canónica.
(b) Encontre a capacidade calorífica
como função da temperatura
.
© Analise o limite de baixas temperaturas e comente sobre o resultado final.
(a) Obtenha a função de partição canónica.
(b) Encontre a capacidade calorífica
© Analise o limite de baixas temperaturas e comente sobre o resultado final.
Passo 1
A questão fala de um gás clássico de N partículas indistinguíveis no volume V, cada partícula com energia cinética
e dois níveis internos (energia 0 com degenerescência
, e energia E > 0 com degenerescência
). O conteúdo é termodinâmica estatística: precisamos montar a partição canônica e daí obter a energia interna e a capacidade calorífica.
Passo 2
Para uma única partícula, a função de partição é produto da parte translacional e da parte interna. A parte translacional num volume V é dada por
com o comprimento de onda térmico
A parte interna vale
onde
. Logo a partição de uma partícula é
Passo 3
Como as partículas são clássicas e indistinguíveis, a função de partição do sistema é
Passo 4
Para obter a capacidade calorífica, primeiro calculamos a energia interna
a partir de
a partir de
Isso conduz a
Então
Passo 5
No limite de baixas temperaturas (
, logo
), temos
e a parte interna congela. Assim
pois as excitacões internas são suprimidas, restando apenas a contribuição translacional.
Resposta
Definindo
e
, temos
No limite
, resulta em