Um gás monoatómico de
moléculas de massa
está em equilíbrio térmico a uma temperatura
. O gás está contido em uma caixa cúbica de aresta
, cujos lados de cima e de baixo estão paralelos à superfície da Terra. Considere o efeito do campo gravitacional. A aceleração da gravidade é
.
(a) Encontre a função de partição do sistema.
(b) Determine a energia interna do gás.
© Determine a energia potencial média do gás.
(a) Encontre a função de partição do sistema.
(b) Determine a energia interna do gás.
© Determine a energia potencial média do gás.
Passo 1
O enunciado pede para achar a função de partição canônica de um gás monoatômico em um campo gravitacional uniforme, depois a energia interna e finalmente a energia potencial média. O conteúdo é a estatística canônica aplicada a um gás ideal em presença de um potencial externo (a gravidade). Vamos precisar usar a definição da função de partição para um só corpo, expandi-la em integrais sobre momento e posição, e depois extrair energia interna por derivada em relação a β e usar a média do potencial.
Passo 2
Para um só átomo clássica-mente, a função de partição é
A integral em momento é padrão: ela vale
.
Passo 3
A integral em posição usa que a área da base é
e que
vai de 0 a
. Temos
Passo 4
Logo
Passo 5
e a função de partição total do gás é
Passo 6
Para a energia interna usamos
e separamos em parte cinética e parte potencial. A parte cinética dá o famoso
por partícula, totalizando
.
Passo 7
A parte potencial vem de
Fazendo a derivada em β, chega-se a
Passo 8
Para a energia potencial média também podemos usar diretamente a média:
Resposta
(a) Z_N=\displaystyle\frac{1}{N!}\Bigl[\frac{L2}{h3}(2\pi m kT){3/2}\frac{1-e{-mgL/(kT)}}{mg}\Bigr]^N
(b) U=\displaystyle\frac{3}{2}NkT+N\Bigl[kT-\frac{mgL}{e^{mgL/(kT)}-1}\Bigr]
© \langle E_p\rangle=\displaystyle N\Bigl[kT-\frac{mgL}{e^{mgL/(kT)}-1}\Bigr]
(b) U=\displaystyle\frac{3}{2}NkT+N\Bigl[kT-\frac{mgL}{e^{mgL/(kT)}-1}\Bigr]
© \langle E_p\rangle=\displaystyle N\Bigl[kT-\frac{mgL}{e^{mgL/(kT)}-1}\Bigr]