Um gás monoatómico de N moléculas de massa m está em equilíbrio térmico a uma temperatura T. O gás está contido em uma caixa cúbica de aresta L, cujos lados de cima e de baixo estão paralelos à superfície da Terra. Considere o efeito do campo gravitacional. A aceleração da gravidade é g.
(a) Encontre a função de partição do sistema.
(b) Determine a energia interna do gás.
© Determine a energia potencial média do gás.

Passo 1

O enunciado pede para achar a função de partição canônica de um gás monoatômico em um campo gravitacional uniforme, depois a energia interna e finalmente a energia potencial média. O conteúdo é a estatística canônica aplicada a um gás ideal em presença de um potencial externo (a gravidade). Vamos precisar usar a definição da função de partição para um só corpo, expandi-la em integrais sobre momento e posição, e depois extrair energia interna por derivada em relação a β e usar a média do potencial.

Passo 2

Para um só átomo clássica-mente, a função de partição é
Z1=1h^3integral!d^3p,e^-beta p^2/(2m)integral!d^3r,e^-beta m g z
A integral em momento é padrão: ela vale (2pi m/beta)^3/2.

Passo 3

A integral em posição usa que a área da base é A=L^2 e que z vai de 0 a L. Temos
integral!d^3r,e^-beta m g z=Aintegral0^L!dz,e^-beta m g z =A1-e^-beta m g Lbeta m g

Passo 4

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Passo 5

Z1=Ah^3(2pi m/beta)^3/21-e^-beta m g Lbeta m g,
e a função de partição total do gás é
ZN=Z1^NN!

Passo 6

Para a energia interna usamos
U=-partialpartial betaln ZN =-Npartialpartial betaln Z1
e separamos em parte cinética e parte potencial. A parte cinética dá o famoso 3/(2beta)=3kT/2 por partícula, totalizando 3NkT/2.

Passo 7

A parte potencial vem de
lnl(1-e^-beta m gLr)-ln(beta m g)
Fazendo a derivada em β, chega-se a
U=32NkT+Nl[kT-m g Le^beta m gL-1r]

Passo 8

Para a energia potencial média também podemos usar diretamente a média:
lang<= Eprang<==Nintegral0^L mgz,e^-beta mgzdzintegral0^L e^-beta mgzdz =Nl[kT-mgLe^beta mgL-1r]

Resposta

(a) Z_N=\displaystyle\frac{1}{N!}\Bigl[\frac{L2}{h3}(2\pi m kT){3/2}\frac{1-e{-mgL/(kT)}}{mg}\Bigr]^N
(b) U=\displaystyle\frac{3}{2}NkT+N\Bigl[kT-\frac{mgL}{e^{mgL/(kT)}-1}\Bigr]
© \langle E_p\rangle=\displaystyle N\Bigl[kT-\frac{mgL}{e^{mgL/(kT)}-1}\Bigr]

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