Considere um gás de N dipolos magnéticos com J=1 / 2 (duas orientações possíveis em relação ao campo magnético externo H ). (a) Mostre que o sistema admite estados com temperatura absoluta negativa. (b) Faça gráficos da temperatura T em função da energia U, e da entropia S em função de U. © explique o significado físico dos estados com temperatura T>0 e T<0.

Passo 1

A questão trata de um gás de N dipolos magnéticos de spin J=1/2 em um campo externo H. Vamos usar estatística dos níveis discretos de energia de cada dipolo (duas orientações) para obter a entropia S(U), depois extrair a temperatura T=,dS/dU e analisar seu sinal e comportamento.

Passo 2

Cada dipolo tem dois níveis de energia: alinhado ao campo (energia mínima –μH) e antialinhado (energia máxima +μH). Se chamarmos n₊ o número de dipolos no estado de energia +μH e n₋=N–n₊ os no estado –μH, a energia total é U = n₊(+μH) + n₋(μH) = μH, (2n₊ N)

Passo 3

A multiplicidade do sistema é o número de maneiras de escolher n₊ dipolos entre N: Ω(U)=binomNn₊ = N!n₊!,(Nn₊)! A entropia é S(U)=klnΩ(U)=kl[ln N! ln n₊! ln(Nn₊)!r]

Passo 4

Para manipular S(U) como função contínua de U, expressamos n₊ em função de U: n₊= N2 + U2μH Usando aproximação de Stirling ln m!approx mln m m obtemos uma forma analítica de S(U).

Passo 5

A temperatura é dada por 1T=dSdU Fazendo a derivada (respeitando n₊ dependente de U) chega-se a 1T = k2μHlnN n₊n₊ Esse log muda de sinal quando n₊ passa de N/2, ou seja, quando U passa de zero. Assim, para U<0 temos T>0 e para U>0 temos T<0, demonstrando a existência de temperatura absoluta negativa.

Passo 6

Para (b), o gráfico de S vs U é côncavo (forma de “arco”) com máximo em U=0 e S→0 nos extremos U=±NμH. O gráfico de T vs U tem uma descontinuidade em U=0: T→+∞ quando U→0– e T→–∞ quando U→0+. Para U<0 T>0 decresce de +∞ a 0, e para U>0 T<0 cresce de –∞ a 0.

Passo 7

Fisicamente ©, T>0 corresponde ao regime usual em que o estado de menor energia (spin alinhado) é mais povoado que o de maior energia. T<0 indica população invertida (mais spins no estado de maior energia) — esse é um estado efetivamente mais ‘quente’ que qualquer T>0, pois a entropia diminui ao adicionar energia.

Passo 8

Em resumo, o sistema admite estados de temperatura negativa sempre que a população de dipolos no nível de energia alta ultrapassa a do nível baixa (U>0), e esses estados se situam ‘acima’ do infinito térmico em um diagrama de temperatura.

Resposta

(a) Como a entropia S(U) atinge máximo em U=0 e decresce para U>0, sua derivada dS/dU muda de sinal, gerando T<0 para U>0. Logo o sistema admite temperatura absoluta negativa. (b) S(U) é uma curva côncava com máximo em U=0; T(U) diverge em U=0 trocando de +∞ (U→0–) para –∞ (U→0+), decrescendo de +∞ a 0 para U<0 e aumentando de –∞ a 0 para U>0. © Estados com T>0: população normal (mais spins em energia baixa); T<0: população invertida (mais spins em energia alta), caracterizando ‘temperatura negativa’ mais quente que qualquer T>0.

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