Considere um sistema de
partículas independentes e distinguíveis de massa
que se movimentam em um segmento unidimensional entre
e
. O Hamiltoniano de uma partícula é:
onde
é uma constante que indica a intensidade do potencial
, e
é um comprimento característico.
(a) Encontre a função de partição canônica de uma partícula e a função de partição canônica de
partículas.
(b) Determine a pressão do sistema em função das variáveis
e
.
(a) Encontre a função de partição canônica de uma partícula e a função de partição canônica de
(b) Determine a pressão do sistema em função das variáveis
Passo 1
O enunciado trata de um sistema canônico de
partículas independentes e distinguíveis de massa
, confinadas no intervalo unidimensional
, com Hamiltoniano
onde
.
Passo 2
Primeiro, separamos as integrais de momento e posição em
Passo 3
A integral sobre
é a gaussiana clássica:
Passo 4
Para a integral em
, note que
Então
válido se
(isto é,
).
Passo 5
Juntando os resultados obtemos
Como as partículas são independentes e distinguíveis, a partição de
partículas é
Passo 6
A pressão é dada por
Escrevendo
temos
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Resposta
Z_1=\dfrac{1}{h}\sqrt{\dfrac{2\pi m}{\beta}};L_0{\beta\alpha};\dfrac{L{1-\beta\alpha}}{1-\beta\alpha}, \quad Z_N=(Z_1)^N, \quad p=\dfrac{N}{L}\bigl(k_B T-\alpha\bigr).