Considere um sistema de N partículas independentes e distinguíveis de massa m que se movimentam em um segmento unidimensional entre q=0 e q=L. O Hamiltoniano de uma partícula é:
H=p^22 m-alpha ln (qL0) alpha>0
onde alpha é uma constante que indica a intensidade do potencial L0, e N é um comprimento característico.
(a) Encontre a função de partição canônica de uma partícula e a função de partição canônica de T, L partículas.
(b) Determine a pressão do sistema em função das variáveis N e .

Passo 1

O enunciado trata de um sistema canônico de N partículas independentes e distinguíveis de massa m, confinadas no intervalo unidimensional 0<= q<= L, com Hamiltoniano
onde H=p^22m+alphalnl(tfracqL0r), o que nos <=va a calcular a função de partição canônica de uma partícula (e depois de $N$) e, a partir dela, a pressão do gás em termos de $T$, $L$ e $N$ Vamos usar que na estatística canônica [ Z1=1hintegral-infty^inftydpintegral0^Ldq,e^-beta H(p,q), .

Passo 2

Primeiro, separamos as integrais de momento e posição em
Z1=1hl(integral-infty^inftydp,e^-beta p^2/(2m)r)l(integral0^Ldq,e^-betaalphaln(q/L0)r)

Passo 3

A integral sobre p é a gaussiana clássica:
integral-infty^inftydp,e^-beta p^2/(2m)=raiz2pi mbeta

Passo 4

Para a integral em q, note que
e^-betaalphaln(q/L0)=(q/L0)^-betaalpha=L0^betaalpha,q^-betaalpha
Então
integral0^Ldq,q^-betaalpha=L^1-betaalpha1-betaalpha,
válido se betaalpha<1 (isto é, kB T>alpha).

Passo 5

Juntando os resultados obtemos
Z1=1hraiz2pi mbeta;L0^betaalpha;L^1-betaalpha1-betaalpha
Como as partículas são independentes e distinguíveis, a partição de N partículas é
ZN=(Z1)^N

Passo 6

A pressão é dada por
p=1betal(partialln ZNpartial Lr)T,N
Escrevendo
ln ZN=Nln Z1=Nl[lnl(raiztfrac2pi mbeta,L0^betaalpha/(h(1-betaalpha))r)+(1-betaalpha)ln Lr],
temos
partialln ZNpartial L=N1-betaalphaL
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p=Nbeta1-betaalphaL=NLl(kB T-alphar)

Resposta

Z_1=\dfrac{1}{h}\sqrt{\dfrac{2\pi m}{\beta}};L_0{\beta\alpha};\dfrac{L{1-\beta\alpha}}{1-\beta\alpha}, \quad Z_N=(Z_1)^N, \quad p=\dfrac{N}{L}\bigl(k_B T-\alpha\bigr).

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