Considere um gás clássico de N partículas indistinguíveis, monoatômicas e não interagentes confinado em um volume V e com energia E.
(a) Determine o número de estados do sistema que possuem energia menor que E (i.e. Sigma(E) ), e o número de estados do sistema localizados na hipersuperfície H(q, p)=E (i.e. W(E) ). Explique por que razão é necessário utilizar o fator de Boltzmann N !.
(b) Encontre a entropia de Boltzmann SB=k ln W(E) e a de Gibbs SG=k ln Sigma(E) e mostre ambas diferem em um fator proporcional a ln N. Explique por que as propriedades termodinâmicas obtidas são as mesmas em ambos casos.

Passo 1

Vamos resolver um gás clássico de N partículas indistinguíveis, monoatômicas e não interagentes no volume V com energia total E. O conteúdo é mecânica estatística clássica e vamos precisar do volume de fase e da correção por indistinguibilidade (fator N!).

Passo 2

O volume de fase com energia menor que E é dado por
Sigma(E)=1h^3NN!integralH
Como H=∑p_i^2/(2m) não depende das posições, a integral em q dá V^N. A integral em p é o volume de uma bola em dimensão 3N de raio raiz2mE, que vale
integralsum pi^2<2mEd^3Np = pi^3N2(2mE)^3N2Gammal(3N2+1r)
Logo
Sigma(E)=V^Nh^3NN!;pi^3N2(2mE)^3N2Gammal(3N2+1r)

Passo 3

O número de estados na hipersuperfície H=E é a derivada W(E)=dSigma/dE. Diferenciando obtemos
W(E)=V^Nh^3NN!;pi^3N2(2m)^3N2Gammal(3N2r);E^3N2-1
e que coincide com
W(E)=Sigma(E);3N2E

Passo 4

O fator 1/N! vem de partículas indistinguíveis: sem ele contaríamos permutações idênticas como microestados distintos, inflando injustamente o número total de configurações.

Passo 5

A entropia de Gibbs é
SG = klnSigma(E)
e a de Boltzmann
SB = kln W(E)

Passo 6

Subtraindo temos
SG - SB = klnSigmaW = kln2E3N
Esse termo escala como ln N para E∝N, mostrando que SG e SB diferem por algo da ordem de ln N.

Passo 7

As propriedades termodinâmicas (temperatura, pressão etc.) vêm de derivadas de S em relação a E e V. Como a diferença kln(2E/3N) é subextensiva (cresce como ln N), ela some nas derivadas e as previsões termodinâmicas coincidem nos dois casos.

Resposta

Sigma(E)=V^Nh^3NN!;pi^3N2(2mE)^3N2Gammal(tfrac3N2+1r), W(E)=V^Nh^3NN!;pi^3N2(2m)^3N2Gammal(tfrac3N2r);E^3N2-1
SG = klnSigma(E), SB = kln W(E), SG - SB = kln2E3Nsim O(ln N)
As previsões termodinâmicas são as mesmas porque a diferença é subextensiva e desaparece nas derivadas que definem temperatura e pressão.

Exercícios relacionados