Considere um gás clássico de
partículas indistinguíveis, monoatômicas e não interagentes confinado em um volume
e com energia
.
(a) Determine o número de estados do sistema que possuem energia menor que
(i.e.
), e o número de estados do sistema localizados na hipersuperfície
(i.e.
). Explique por que razão é necessário utilizar o fator de Boltzmann
!.
(b) Encontre a entropia de Boltzmann
e a de Gibbs
e mostre ambas diferem em um fator proporcional a
. Explique por que as propriedades termodinâmicas obtidas são as mesmas em ambos casos.
(a) Determine o número de estados do sistema que possuem energia menor que
(b) Encontre a entropia de Boltzmann
Passo 1
Vamos resolver um gás clássico de N partículas indistinguíveis, monoatômicas e não interagentes no volume V com energia total E. O conteúdo é mecânica estatística clássica e vamos precisar do volume de fase e da correção por indistinguibilidade (fator N!).
Passo 2
O volume de fase com energia menor que E é dado por
Como H=∑p_i^2/(2m) não depende das posições, a integral em q dá V^N. A integral em p é o volume de uma bola em dimensão 3N de raio
, que vale
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Passo 3
O número de estados na hipersuperfície H=E é a derivada
. Diferenciando obtemos
e que coincide com
Passo 4
O fator
vem de partículas indistinguíveis: sem ele contaríamos permutações idênticas como microestados distintos, inflando injustamente o número total de configurações.
Passo 5
A entropia de Gibbs é
e a de Boltzmann
Passo 6
Subtraindo temos
Esse termo escala como
para E∝N, mostrando que
e
diferem por algo da ordem de
.
Passo 7
As propriedades termodinâmicas (temperatura, pressão etc.) vêm de derivadas de
em relação a E e V. Como a diferença
é subextensiva (cresce como
), ela some nas derivadas e as previsões termodinâmicas coincidem nos dois casos.
Resposta
As previsões termodinâmicas são as mesmas porque a diferença é subextensiva e desaparece nas derivadas que definem temperatura e pressão.