Considere um sistema de
osciladores harmônicos clássicos, distinguíveis, unidimensionais, e com frequência
. O sistema está confinado em um volume
e tem energia total
. Utilizando o ensemble microcanônico determine:
(a) o número de estados do sistema com energia
(b) a entropia
do gás,
© a equação de estado,
(d) a capacidade calorifica.
(a) o número de estados do sistema com energia
(b) a entropia
© a equação de estado,
(d) a capacidade calorifica.
Passo 1
O enunciado pergunta sobre um sistema de N osciladores harmônicos clássicos, unidimensionais, distinguíveis, frequência ω, volume V e energia total E. Vamos usar o ensemble microcanônico para achar: o número de estados com energia E, a entropia S(E,V,N), a equação de estado e a capacidade calorífica.
Passo 2
Em mecânica estatística clássica microcanônica definimos o número de microestados com energia exata E como
onde o h^N faz a contagem dos estados quânticos elementares e H é a soma das energias dos osciladores. Aqui
[H=\sum_{i=1}^N \Bigl(\frac{p_i^2}{2m}+\frac12 m\omega^2 x_i^2\Bigr),.
Para calcular esse integral fazemos uma mudança de variáveis que transforma cada par (p_i,x_i) numa esfera em 2D, de modo que a condição H=E vira a superfície de uma esfera de raio R no espaço 2N-dimensional. O resultado padrão desse cálculo é
[\omega(E)=\frac{1}{hN}\frac{(2\pi/\omega)N}{(N-1)!};E^{N-1},.
Isso responde a parte (a).
Isso responde a parte (a).
Passo 3
A entropia microcanônica é
$$S(E,V,N)=k_B\ln\omega(E)
$$Logo
[S(E,V,N)=k_B\Bigl[N\ln\bigl(2\pi/\omega\bigr)+ (N-1)\ln E -\ln\bigl((N-1)!\bigr) - N\ln h\Bigr].
Para N grande usamos Stirling: . Mantendo só ordem N:
[S\approx k_B\bigl[N\ln E - N\ln(Nh\omega/(2\pi)) + N\bigr].
Isso resolve a parte (b).
[S(E,V,N)=k_B\Bigl[N\ln\bigl(2\pi/\omega\bigr)+ (N-1)\ln E -\ln\bigl((N-1)!\bigr) - N\ln h\Bigr].
Para N grande usamos Stirling:
[S\approx k_B\bigl[N\ln E - N\ln(Nh\omega/(2\pi)) + N\bigr].
Isso resolve a parte (b).
Passo 4
Na termodinâmica microcanônica vale
[P= T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{E,N}=0.
Isso é a parte ©.
Passo 5
Para a capacidade calorífica definimos
[C_V=\Bigl(\frac{\partial E}{\partial T}\Bigr)_{V,N}=Nk_B,
que é a parte (d).
Resposta
(a) (\displaystyle \omega(E)=\frac{1}{hN}\frac{(2\pi/\omega)N}{(N-1)!}E^{N-1}.\
(b) (\displaystyle S(E,V,N)=k_B\Bigl[N\ln\bigl(2\pi/\omega\bigr)+(N-1)\ln E-\ln((N-1)!)-N\ln h\Bigr]\approx k_B\bigl[N+N\ln\tfrac{E}{Nh\omega/(2\pi)}\bigr].\
© (P=0.\
(d) .
(b) (\displaystyle S(E,V,N)=k_B\Bigl[N\ln\bigl(2\pi/\omega\bigr)+(N-1)\ln E-\ln((N-1)!)-N\ln h\Bigr]\approx k_B\bigl[N+N\ln\tfrac{E}{Nh\omega/(2\pi)}\bigr].\
© (P=0.\
(d)