Considere um sistema com dois níveis de energia E0 e E1, os quais são ocupados por N partículas clássicas distinguíveis e não interagentes.
(a) Encontre a função de partição canônica do sistema.
(b) Encontre a energia média por partícula para uma temperatura T.
© Considere E1>E0>0. Determine a energia média por partícula nos limites T 0 e T infty.
(d) Que fração das partículas ocupam o nível E0 quando T=0 ? Que fração das partículas ocupam o nível E0 quando T infty ?

Passo 1

A questão descreve um sistema canônico de N partículas clássicas, distinguíveis e não interagentes, com dois níveis de energia E₀ e E₁. Vamos usar a formalização da mecânica estatística no ensemble canônico: definir β=1/(k_B T), construir a função de partição e extrair as quantidades pedidas.

Passo 2

Para um única partícula, a função de partição é a soma das probabilidades não normalizadas de ocupar cada nível. Logo,
z=sumi=0^1e^-beta Ei=e^-beta E0+e^-beta E1

Passo 3

Como as partículas são não interagentes e distinguíveis, a função de partição total é o produto das individuais:
Z=z^N=(e^-beta E0+e^-beta E1)^N

Passo 4

A energia média total é dada por U=-partial ln Z/partial beta. A energia média por partícula é bar u=U/N=-partial ln z/partial beta. Calculando,
bar u=-partialpartialbetalnl(e^-beta E0+e^-beta E1r)=E0e^-beta E0+E1e^-beta E1e^-beta E0+e^-beta E1

Passo 5

Nos limites extremos de temperatura: quando T→0, β→∞ e domina o termo de menor energia. Assim, bar uto E0. Quando T→∞, β→0 e ambos os níveis são igualmente prováveis, dando bar uto (E0+E1)/2.

Passo 6

A fração de partículas no nível E₀ é p₀=e{-βE₀}/(e{-βE₀}+e^{-βE₁}). Logo, em T=0 (β→∞) tem p₀=1; em T→∞ (β→0) tem p₀=1/2.

Resposta

(a) Z=(e^-beta E0+e^-beta E1)^N
(b) bar u=E0e^-beta E0+E1e^-beta E1e^-beta E0+e^-beta E1
© Tto0:,bar uto E0; Ttoinfty:,bar utotfracE0+E12
(d) Em T=0 a fração em E₀ é 1; em T\to\infty é 1/2.

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