Considere um sistema com dois níveis de energia
e
, os quais são ocupados por
partículas clássicas distinguíveis e não interagentes.
(a) Encontre a função de partição canônica do sistema.
(b) Encontre a energia média por partícula para uma temperatura
.
© Considere
. Determine a energia média por partícula nos limites
.
(d) Que fração das partículas ocupam o nível
quando
? Que fração das partículas ocupam o nível
quando
?
(a) Encontre a função de partição canônica do sistema.
(b) Encontre a energia média por partícula para uma temperatura
© Considere
(d) Que fração das partículas ocupam o nível
Passo 1
A questão descreve um sistema canônico de N partículas clássicas, distinguíveis e não interagentes, com dois níveis de energia E₀ e E₁. Vamos usar a formalização da mecânica estatística no ensemble canônico: definir β=1/(k_B T), construir a função de partição e extrair as quantidades pedidas.
Passo 2
Para um única partícula, a função de partição é a soma das probabilidades não normalizadas de ocupar cada nível. Logo,
Passo 3
Como as partículas são não interagentes e distinguíveis, a função de partição total é o produto das individuais:
Passo 4
A energia média total é dada por
. A energia média por partícula é
. Calculando,
Passo 5
Nos limites extremos de temperatura: quando T→0, β→∞ e domina o termo de menor energia. Assim,
. Quando T→∞, β→0 e ambos os níveis são igualmente prováveis, dando
.
Passo 6
A fração de partículas no nível E₀ é p₀=e{-βE₀}/(e{-βE₀}+e^{-βE₁}). Logo, em T=0 (β→∞) tem p₀=1; em T→∞ (β→0) tem p₀=1/2.
Resposta
(a)
(b)
© ;
(d) Em T=0 a fração em E₀ é 1; em T\to\infty é 1/2.
(b)
©
(d) Em T=0 a fração em E₀ é 1; em T\to\infty é 1/2.