Considere um gás confinado num cilindro que pode mover um êmbolo, se expandindo ou se comprimindo quando recebe ou dá calor a um reservatório térmico. Este gás pode ir do estado i para o estado f por dois caminhos diferentes ABC E ADC.
a) No caminho A B C, o gás vai de A para B expandindo seu volume de 1 m^3 para 3 m^3 à pressão constante de 5 Pa , depois vai de B para C diminuindo sua pressão para 2 Pa mas com volume constante. Desenhe este processo ABC num diagrama Pressão x Volume e calcule o trabalho realizado pelo gás para A B C.
b) No caminho A D C, o gás vai de A para D diminuindo sua pressão de 5 Pa para 2 Pa mas com volume constante 1 m^3, e em seguida vai de D para C expandindo seu volume até 3 m^3 com pressão constante. Desenhe este processo ADC no diagrama Pressão x Volume e calcule o trabalho realizado pelo gás para ADC.
c) Por qual dos dois caminhos a variação da energia interna é menor, A B C ou A D C ? Justifique.
d) Se o gás fosse direto de A para C, variando linearmente pressão em relação ao volume no diagrama P times V, qual seria o trabalho?
e) Se o calor fornecido para o gás fosse 10 J neste processo direto de A para C (variando linearmente pressão em relação ao volume), qual seria a variação da energia interna?

Passo 1

O enunciado descreve um gás num cilindro que vai do estado A (pressão 5 Pa, volume 1 m^3) ao estado C (pressão 2 Pa, volume 3 m^3) por dois caminhos:
Ato Bto C: primeiro isobárico a 5 Pa de V=1 a 3, depois isocórico de P=5 a 2.
Ato Dto C: primeiro isocórico a V=1 de P=5 a 2, depois isobárico a 2 Pa de V=1 a 3.
Precisamos desenhar ambos no diagrama Ptimes V, calcular o trabalho em cada trecho, comparar a variação de energia interna (função de estado), achar o trabalho num caminho direto com P(V) linear e, se Q=10 J nesse caminho, achar De<a U.

Passo 2

Caminho Ato Bto C (ABC):
— Trecho Ato B: isobárico a P=5 Pa, de VA=1 a VB=3.
WAB=P,(VB-VA)=5,(3-1)=10 J
— Trecho Bto C: isocórico a V=3, de P=5 a 2, logo
WBC=0
Total
WABC=WAB+WBC=10+0=10 J
No diagrama Ptimes V traçamos uma linha horizontal a P=5 de V=1 a 3 e depois uma vertical de P=5 a 2 em V=3.

Passo 3

Caminho Ato Dto C (ADC):
— Trecho Ato D: isocórico a V=1, de P=5 a 2,
WAD=0
— Trecho Dto C: isobárico a P=2 Pa, de VD=1 a VC=3,
WDC=P,(VC-VD)=2,(3-1)=4 J
Total
WADC=0+4=4 J
No diagrama Ptimes V traçamos uma vertical em V=1 de P=5 a 2 e depois linha horizontal a P=2 até V=3.

Passo 4

A variação da energia interna De<a U depende apenas dos estados inicial e final, sendo função de estado. Como A e C são fixos,
De<a UABC=De<a UADC

Passo 5

Caminho direto Ato C com P variando linearmente em V. A equação da reta em P(V) é
m=PC-PAVC-VA=2-53-1=-tfrac32, P(V)=mV+b,;5=-tfrac32cdot1+b;Rightarrow;b=6,5,
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P(V)=6,5-1,5,V
O trabalho é
WAC=integralVA^VCP(V),dV =integral1^3(6,5-1,5V),dV =[6,5V-0,75V^2]1^3 =7 J,
ou usando trapézio tfracPA+PC2(VC-VA)=tfrac5+22cdot2=7.

Passo 6

Se no processo direto AC foi fornecido calor Q=10 J, pela primeira lei
De<a U=Q-WAC=10-7=3 J

Resposta

(a) No caminho ABC, WABC=10 J
(b) No caminho ADC, WADC=4 J
(c) De<a U é igual nos dois caminhos (função de estado).
(d) No percurso direto linear, WAC=7 J
(e) Com Q=10 J, De<a U=3 J

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