Outros problemas:
  • Mostre que a Lei das Áreas de Kepler é uma consequência direta da conservação da componente z do momento angular. Sendo Lz a componente perpendicular ao plano da órbita.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a Lei das Áreas de Kepler — que diz que o raio-vetor que liga o Sol a um planeta varre áreas iguais em tempos iguais — decorre da conservação de Lz, a componente do momento angular perpendicular ao plano da órbita. Vamos usar mecânica clássica em coordenadas polares e a definição de momento angular para sistemas de partículas.

Passo 2

Em coordenadas polares no plano da órbita, a posição do planeta é dada por r=(r,theta). O momento linear é p=mdotr. A componente z do momento angular é
Lz = (rtimesp)z = m,r^2,dottheta,
pois em coordenadas polares rtimesdotr só tem componente z e vale r^2dottheta.

Passo 3

Agora, considere a área varrida pelo raio-vetor em um instante em que theta avança de theta para theta + dtheta. Essa pequena área é aproximada por um triângulo de base r,dtheta e altura r, logo
dA = tfrac12,r,(r,dtheta) = tfrac12,r^2,dtheta

Passo 4

Dividindo a área diferencial pelo intervalo de tempo dt, obtemos a taxa instantânea de varredura de área:
dAdt = tfrac12,r^2,dthetadt = tfrac12,r^2,dottheta

Passo 5

Mas já vimos que
Lz = m,r^2,dottheta Longrightarrow r^2,dottheta = Lzm
Substituindo em dA/dt, fica
dAdt = tfrac12,Lzm = constante,
porque Lz é conservado. Logo a área varrida por unidade de tempo é constante, exatamente a Lei das Áreas de Kepler.

Resposta

A Lei das Áreas de Kepler decorre de
dAdt = Lz2m = constante,
isto é, áreas iguais em tempos iguais.

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