Outros problemas:
- Mostre que a Lei das Áreas de Kepler é uma consequência direta da conservação da componente z do momento angular. Sendo Lz a componente perpendicular ao plano da órbita.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a Lei das Áreas de Kepler — que diz que o raio-vetor que liga o Sol a um planeta varre áreas iguais em tempos iguais — decorre da conservação de
, a componente do momento angular perpendicular ao plano da órbita. Vamos usar mecânica clássica em coordenadas polares e a definição de momento angular para sistemas de partículas.
Passo 2
Em coordenadas polares no plano da órbita, a posição do planeta é dada por
. O momento linear é
. A componente
do momento angular é
pois em coordenadas polares
só tem componente
e vale
.
Passo 3
Agora, considere a área varrida pelo raio-vetor em um instante em que
avança de
para
. Essa pequena área é aproximada por um triângulo de base
e altura
, logo
Passo 4
Dividindo a área diferencial pelo intervalo de tempo
, obtemos a taxa instantânea de varredura de área:
Passo 5
Mas já vimos que
Substituindo em
, fica
porque
é conservado. Logo a área varrida por unidade de tempo é constante, exatamente a Lei das Áreas de Kepler.
Resposta
A Lei das Áreas de Kepler decorre de
isto é, áreas iguais em tempos iguais.