Um objeto A é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de v0, a partir do solo. No exato instante em que o objeto A é lançado, um segundo objeto B é solto do topo de uma torre com altura H, caindo em queda livre. Considere g como a aceleração gravitacional e despreze a resistência do ar.
(a) Escreva as equações que descrevem o movimento dos objetos A e B, tomando o solo como origem e o sentido positivo para cima.
(b) Determine o instante em que os dois objetos se encontram.
(c) Calcule a altura, em relação ao solo, onde ocorre o encontro.
(d) Determine a velocidade de cada objeto no instante do encontro.

Passo 1

O problema trata de cinemática unidimensional reunindo dois movimentos sob aceleração constante: um objeto A lançado verticalmente para cima com velocidade inicial v0 a partir do solo e outro B solto do repouso do topo de uma torre de altura H. Vamos usar o referencial com origem no solo e eixo y positivo para cima, com aceleração da gravidade g apontando para baixo.

Passo 2

Para escrever as equações horárias dos dois objetos, usamos a fórmula geral do movimento uniformemente variado
y(t) = y0 + v0 t + tfrac12 a t^2
Para A temos posição inicial y0=0, velocidade inicial v0=v0 para cima e aceleração a=-g. Assim:
yA(t) = 0 + v0 t - tfrac12g t^2
Para B temos y0=H, velocidade inicial v0=0 e aceleração a=-g. Logo:
yB(t) = H - tfrac12g t^2

Passo 3

Para achar o instante de encontro fazemos yA(t)=yB(t):
v0 t - tfrac12g t^2 = H - tfrac12g t^2
Os termos -tfrac12 g t^2 cancelam, restando v0 t = H, daí
t = Hv0

Passo 4

Para calcular a altura de encontro substituímos t=H/v0 em yA(t):
yencontro = v0 cdot Hv0 - tfrac12g l(Hv0r)^2
Simplificando:
yencontro = H - g H^22 v0^2

Passo 5

A velocidade de cada objeto no instante t=H/v0 vem da equação v(t)=v0 + a t. Para A:
vA = v0 - g cdot Hv0 = v0^2 - gHv0
Para B, partindo do repouso e acelerando para baixo:
vB = 0 - g cdot Hv0 = -gHv0 (sinal negativo indica movimento para baixo).

Resposta

O instante de encontro é t = Hv0. A altura de encontro é y = H - g H^22 v0^2. As velocidades no encontro são vA = v0^2 - gHv0 e vB = -gHv0.

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