Considere um gás ideal diatômico que executa, no sentido horário, um ciclo Joule (duas isobáricas e duas adiabáticas). A pressão na isobárica onde o gás sofre resfriamento é P0 e na isobárica onde ele é aquecido vale r P0, onde r é a taxa de compressão. Desenhe esse ciclo em um diagrama P V. Construa e preencha uma tabela, calculando todas as grandezas presentes na 1^a lei da termodinâmica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um gás ideal diatômico que está passando por um ciclo Joule, que é composto por duas transformações isobáricas (com pressão constante) e duas adiabáticas (sem troca de calor). Na parte isobárica onde o gás esfria, a pressão é $ P_{0} $, e na parte onde ele é aquecido, a pressão é $ r P_{0} $, onde $ r $ é a taxa de compressão. Nosso objetivo é desenhar esse ciclo em um diagrama $ PV $ e montar uma tabela com todas as grandezas envolvidas na primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ciclo Joule. Ele consiste em duas etapas isotérmicas (temperatura constante) e duas adiabáticas. Mas no seu caso, ele está descrito como composto por duas isobáricas e duas adiabáticas, o que ainda é válido para análise termodinâmica.
Para desenhar o ciclo no diagrama $ PV $, precisamos identificar os quatro processos:
  1. Isobárico de aquecimento: pressão constante $ r P_{0} $, volume aumenta.
  2. Adiabático de compressão: sem troca de calor, pressão aumenta.
  3. Isobárico de resfriamento: pressão constante $ P_{0} $, volume diminui.
  4. Adiabático de expansão: sem troca de calor, pressão diminui.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica, que é dada por:
De
Onde:
  • $ \Delta U $ é a variação da energia interna.
  • $ Q $ é o calor trocado.
  • $ W $ é o trabalho realizado pelo sistema.
Como estamos lidando com um ciclo completo, a variação total da energia interna $ \Delta U $ será zero, já que o sistema retorna ao estado inicial.

Passo 4

Vamos calcular o trabalho $ W $ e o calor $ Q $ em cada etapa do ciclo.
  1. Isobárico de aquecimento (1 → 2):
    • Pressão constante $ P = r P_{0} $
    • Trabalho realizado: $ W_{1 \rightarrow 2} = P \Delta V $
    • Calor fornecido: $ Q_{1 \rightarrow 2} = \Delta U + W_{1 \rightarrow 2} $
  2. Adiabático de compressão (2 → 3):
    • $ Q = 0 $
    • Trabalho realizado: $ W_{2 \rightarrow 3} = \Delta U $
  3. Isobárico de resfriamento (3 → 4):
    • Pressão constante $ P = P_{0} $
    • Trabalho realizado: $ W_{3 \rightarrow 4} = P \Delta V $
    • Calor removido: $ Q_{3 \rightarrow 4} = \Delta U + W_{3 \rightarrow 4} $
  4. Adiabático de expansão (4 → 1):
    • $ Q = 0 $
    • Trabalho realizado: $ W_{4 \rightarrow 1} = \Delta U $

Passo 5

Vamos organizar esses cálculos em uma tabela para facilitar a visualização:
Processo Tipo Pressão $ P $ Volume Inicial $ V_i $ Volume Final $ V_f $ Trabalho $ W $ Calor $ Q $
1 → 2 Isobárico $ r P_{0} $ $ V_1 $ $ V_2 $ $ W_{1 \rightarrow 2} = r P_{0} (V_2 - V_1) $ $ Q_{1 \rightarrow 2} = \Delta U + W_{1 \rightarrow 2} $
2 → 3 Adiabático Aumenta $ V_2 $ $ V_3 $ $ W_{2 \rightarrow 3} = \Delta U $ $ Q_{2 \rightarrow 3} = 0 $
3 → 4 Isobárico $ P_{0} $ $ V_3 $ $ V_4 $ $ W_{3 \rightarrow 4} = P_{0} (V_4 - V_3) $ $ Q_{3 \rightarrow 4} = \Delta U + W_{3 \rightarrow 4} $
4 → 1 Adiabático Diminui $ V_4 $ $ V_1 $ $ W_{4 \rightarrow 1} = \Delta U $ $ Q_{4 \rightarrow 1} = 0 $
Total $ W_{total} = W_{1 \rightarrow 2} + W_{2 \rightarrow 3} + W_{3 \rightarrow 4} + W_{4 \rightarrow 1} $ $ Q_{total} = Q_{1 \rightarrow 2} + Q_{3 \rightarrow 4} $

Resposta

Finalizando, o ciclo Joule para o gás ideal diatômico apresenta as seguintes grandezas na primeira lei da termodinâmica:
Processo Tipo Pressão $ P $ Volume Inicial $ V_i $ Volume Final $ V_f $ Trabalho $ W $ Calor $ Q $
1 → 2 Isobárico $ r P_{0} $ $ V_1 $ $ V_2 $ $ r P_{0} (V_2 - V_1) $ $ Q_{1 \rightarrow 2} = \Delta U + r P_{0} (V_2 - V_1) $
2 → 3 Adiabático Aumenta $ V_2 $ $ V_3 $ $ \Delta U $ $ 0 $
3 → 4 Isobárico $ P_{0} $ $ V_3 $ $ V_4 $ $ P_{0} (V_4 - V_3) $ $ \Delta U + P_{0} (V_4 - V_3) $
4 → 1 Adiabático Diminui $ V_4 $ $ V_1 $ $ \Delta U $ $ 0 $
Total $ W_{total} = r P_{0} (V_2 - V_1) + \Delta U + P_{0} (V_4 - V_3) + \Delta U $ $ Q_{total} = \Delta U + P_{0} (V_4 - V_3) $
Esse resumo ajuda a entender como cada processo contribui para o ciclo completo, aplicando a primeira lei da termodinâmica em cada etapa.

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