Considere um gás ideal diatômico que executa, no sentido horário, um ciclo Joule (duas isobáricas e duas adiabáticas). A pressão na isobárica onde o gás sofre resfriamento é
e na isobárica onde ele é aquecido vale
, onde
é a taxa de compressão. Desenhe esse ciclo em um diagrama
. Construa e preencha uma tabela, calculando todas as grandezas presentes na
lei da termodinâmica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um gás ideal diatômico que está passando por um ciclo Joule, que é composto por duas transformações isobáricas (com pressão constante) e duas adiabáticas (sem troca de calor). Na parte isobárica onde o gás esfria, a pressão é $ P_{0} $, e na parte onde ele é aquecido, a pressão é $ r P_{0} $, onde $ r $ é a taxa de compressão. Nosso objetivo é desenhar esse ciclo em um diagrama $ PV $ e montar uma tabela com todas as grandezas envolvidas na primeira lei da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ciclo Joule. Ele consiste em duas etapas isotérmicas (temperatura constante) e duas adiabáticas. Mas no seu caso, ele está descrito como composto por duas isobáricas e duas adiabáticas, o que ainda é válido para análise termodinâmica.
Para desenhar o ciclo no diagrama $ PV $, precisamos identificar os quatro processos:
- Isobárico de aquecimento: pressão constante $ r P_{0} $, volume aumenta.
- Adiabático de compressão: sem troca de calor, pressão aumenta.
- Isobárico de resfriamento: pressão constante $ P_{0} $, volume diminui.
- Adiabático de expansão: sem troca de calor, pressão diminui.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica, que é dada por:
Onde:
- $ \Delta U $ é a variação da energia interna.
- $ Q $ é o calor trocado.
- $ W $ é o trabalho realizado pelo sistema.
Como estamos lidando com um ciclo completo, a variação total da energia interna $ \Delta U $ será zero, já que o sistema retorna ao estado inicial.
Passo 4
Vamos calcular o trabalho $ W $ e o calor $ Q $ em cada etapa do ciclo.
-
Isobárico de aquecimento (1 → 2):
- Pressão constante $ P = r P_{0} $
- Trabalho realizado: $ W_{1 \rightarrow 2} = P \Delta V $
- Calor fornecido: $ Q_{1 \rightarrow 2} = \Delta U + W_{1 \rightarrow 2} $
-
Adiabático de compressão (2 → 3):
- $ Q = 0 $
- Trabalho realizado: $ W_{2 \rightarrow 3} = \Delta U $
-
Isobárico de resfriamento (3 → 4):
- Pressão constante $ P = P_{0} $
- Trabalho realizado: $ W_{3 \rightarrow 4} = P \Delta V $
- Calor removido: $ Q_{3 \rightarrow 4} = \Delta U + W_{3 \rightarrow 4} $
-
Adiabático de expansão (4 → 1):
- $ Q = 0 $
- Trabalho realizado: $ W_{4 \rightarrow 1} = \Delta U $
Passo 5
Vamos organizar esses cálculos em uma tabela para facilitar a visualização:
Processo | Tipo | Pressão $ P $ | Volume Inicial $ V_i $ | Volume Final $ V_f $ | Trabalho $ W $ | Calor $ Q $ |
---|---|---|---|---|---|---|
1 → 2 | Isobárico | $ r P_{0} $ | $ V_1 $ | $ V_2 $ | $ W_{1 \rightarrow 2} = r P_{0} (V_2 - V_1) $ | $ Q_{1 \rightarrow 2} = \Delta U + W_{1 \rightarrow 2} $ |
2 → 3 | Adiabático | Aumenta | $ V_2 $ | $ V_3 $ | $ W_{2 \rightarrow 3} = \Delta U $ | $ Q_{2 \rightarrow 3} = 0 $ |
3 → 4 | Isobárico | $ P_{0} $ | $ V_3 $ | $ V_4 $ | $ W_{3 \rightarrow 4} = P_{0} (V_4 - V_3) $ | $ Q_{3 \rightarrow 4} = \Delta U + W_{3 \rightarrow 4} $ |
4 → 1 | Adiabático | Diminui | $ V_4 $ | $ V_1 $ | $ W_{4 \rightarrow 1} = \Delta U $ | $ Q_{4 \rightarrow 1} = 0 $ |
Total | $ W_{total} = W_{1 \rightarrow 2} + W_{2 \rightarrow 3} + W_{3 \rightarrow 4} + W_{4 \rightarrow 1} $ | $ Q_{total} = Q_{1 \rightarrow 2} + Q_{3 \rightarrow 4} $ |
Resposta
Finalizando, o ciclo Joule para o gás ideal diatômico apresenta as seguintes grandezas na primeira lei da termodinâmica:
Processo | Tipo | Pressão $ P $ | Volume Inicial $ V_i $ | Volume Final $ V_f $ | Trabalho $ W $ | Calor $ Q $ |
---|---|---|---|---|---|---|
1 → 2 | Isobárico | $ r P_{0} $ | $ V_1 $ | $ V_2 $ | $ r P_{0} (V_2 - V_1) $ | $ Q_{1 \rightarrow 2} = \Delta U + r P_{0} (V_2 - V_1) $ |
2 → 3 | Adiabático | Aumenta | $ V_2 $ | $ V_3 $ | $ \Delta U $ | $ 0 $ |
3 → 4 | Isobárico | $ P_{0} $ | $ V_3 $ | $ V_4 $ | $ P_{0} (V_4 - V_3) $ | $ \Delta U + P_{0} (V_4 - V_3) $ |
4 → 1 | Adiabático | Diminui | $ V_4 $ | $ V_1 $ | $ \Delta U $ | $ 0 $ |
Total | $ W_{total} = r P_{0} (V_2 - V_1) + \Delta U + P_{0} (V_4 - V_3) + \Delta U $ | $ Q_{total} = \Delta U + P_{0} (V_4 - V_3) $ |
Esse resumo ajuda a entender como cada processo contribui para o ciclo completo, aplicando a primeira lei da termodinâmica em cada etapa.