1. Considere um gás de rede constituído por N partículas distribuídas em V células (com N<V ). Supondo que cada célula possa estar vazia ou ocupada por uma única partícula, ache:
    a) a expressão para a densidade de estados \Omega(N, V) e a entropia por partícula s(v), onde v=V / N.
    b) Obtenha a pressão p e escreva uma expressão em termos da densidade \rho=1 / v. Mostre que o primeiro termo corresponde à Lei de Boyle dos gases ideiais.

Passo 1

O enunciado trata de um gás de rede com N partículas colocando-se em V células, no máximo uma por célula. Precisamos usar:
– Contagem combinatória para encontrar \Omega(N,V).
– Entropia estatística S = k\ln\Omega e o uso da fórmula de Stirling para grandes N,V.
– Relação termodinâmica F = -kT\ln\Omega e p = -\bigl(\partial F/\partial V\bigr)_{N,T} para achar a pressão.
Definimos v = V/N e a densidade \rho = N/V = 1/v.

Passo 2

A densidade de estados é o número de formas de escolher N células ocupadas entre V, ou seja
\Omega(N,V) = \binom{V}{N} = \frac{V!}{N!\,(V-N)!}\,.

Passo 3

A entropia total é
S = k\,\ln\Omega(N,V) = k\Bigl[\ln V! - \ln N! - \ln (V-N)!\Bigr].
Para N,V\gg1 usamos Stirling: \ln M!\approx M\ln M - M. Assim
\ln\Omega\approx V\ln V - V - \bigl[N\ln N - N\bigr] - \bigl[(V-N)\ln(V-N) - (V-N)\bigr].

Passo 4

Dividindo por N e escrevendo V = N v e V-N = N(v-1),
s(v) \equiv \frac{S}{N} = k\Bigl[ v\ln(Nv) - v - \ln N + 1 - (v-1)\ln\bigl(N(v-1)\bigr) + (v-1) \Bigr]/N.
Cancelando termos em \ln N e reorganizando, chega-se a
s(v) = k\Bigl[\ln v - (v-1)\ln\frac{v-1}{v}\Bigr].

Passo 5

O potencial de Helmholtz é
F = -kT\ln\Omega(N,V),
logo a pressão a T e N fixos é
p = -\Bigl(\frac{\partial F}{\partial V}\Bigr)_{N,T} = kT\,\frac{\partial}{\partial V}\ln\binom{V}{N}.
Pela forma aproximada \ln\Omega\approx V\ln V - (V-N)\ln(V-N)-N\ln N,
\frac{\partial}{\partial V}\ln\Omega = \ln V +1 - \bigl[\ln(V-N)+1\bigr] = \ln\frac{V}{V-N} = \ln\frac{1}{1-\rho}.
Assim
p = kT\,\ln\frac{1}{1-\rho}.

Passo 6

Expandindo em baixa densidade \rho\ll1:
\ln\frac{1}{1-\rho} = \rho + O(\rho^2),
então
p \approx kT\,\rho \quad\Longrightarrow\quad pV \approx NkT,
que é a Lei de Boyle para gás ideal.

Resposta

a) \displaystyle \Omega(N,V)=\binom{V}{N} \displaystyle s(v)=k\Bigl[\ln v - (v-1)\ln\frac{v-1}{v}\Bigr]
b) \displaystyle p = kT\,\ln\frac{1}{1-\rho}, com \rho=1/v. Em baixa densidade \displaystyle p\approx kT\,\rho, recuperando pV=NkT.

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