- Considere um gás de rede constituído por
partículas distribuídas em
células (com
). Supondo que cada célula possa estar vazia ou ocupada por uma única partícula, ache:
a) a expressão para a densidade de estados
e a entropia por partícula
, onde
.
b) Obtenha a pressão
e escreva uma expressão em termos da densidade
. Mostre que o primeiro termo corresponde à Lei de Boyle dos gases ideiais.
a) a expressão para a densidade de estados
b) Obtenha a pressão
Passo 1
O enunciado trata de um gás de rede com
partículas colocando-se em
células, no máximo uma por célula. Precisamos usar:
– Contagem combinatória para encontrar .
– Entropia estatística e o uso da fórmula de Stirling para grandes
.
– Relação termodinâmica e
para achar a pressão.
Definimos e a densidade
.
– Contagem combinatória para encontrar
– Entropia estatística
– Relação termodinâmica
Definimos
Passo 2
A densidade de estados é o número de formas de escolher
células ocupadas entre
, ou seja
Passo 3
A entropia total é
Para
usamos Stirling:
. Assim
Passo 4
Dividindo por
e escrevendo
e
,
Cancelando termos em
e reorganizando, chega-se a
Passo 5
O potencial de Helmholtz é
logo a pressão a
e
fixos é
Pela forma aproximada
,
Assim
Passo 6
Expandindo em baixa densidade
:
então
que é a Lei de Boyle para gás ideal.
Resposta
a)
b) , com
. Em baixa densidade
, recuperando
.
b)