Considere um modelo de N íons magnéticos localizados, definido pelo hamiltoniano de spin \mathcal{H}=-\mu_{0} H \sum_{i=1}^{N} S_{i}, onde a variável S_{i} pode assumir os valores -1 ou +1 , para qualquer sítio i e \mu_{0} e H denotam o magnéton de Bohr e o campo magnético, respectivamente. Dada a energia total E, obtenha:
A expressão do número de estados microscópicos acessíveis ao sistema, \Omega(E, N), bem como a entropia por partícula, s(u), onde u=E / N.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de N spins independentes com hamiltoniano
\mathcal{H}=-\mu_{0}H\sum_{i=1}^{N}S_{i},
onde cada S_{i}=\pm1. A energia total é
E=-\mu_{0}H\sum_{i=1}^{N}S_{i}.
Queremos (i) o número de microestados \Omega(E,N) no conjunto microcanônico e (ii) a entropia por partícula
s(u)=\frac{1}{N}S(E,N),\quad u=\frac{E}{N}.

Passo 2

Vamos contar quantos spins estão em +1. Seja N_{+} o número de spins com S_{i}=+1 e N_{-}=N-N_{+} o número de spins com S_{i}=-1. Então
\sum_{i}S_{i}=N_{+}-N_{-}=2N_{+}-N
e, pela relação energia-hamiltoniano,
E=-\mu_{0}H\,(2N_{+}-N)\quad\Longrightarrow\quad N_{+}=\frac{N}{2}-\frac{E}{2\mu_{0}H}.

Passo 3

O número de microestados com exatamente N_{+} spins para +1 é o número de maneiras de escolher N_{+} sítios dentre N, isto é
\Omega(E,N) =\binom{N}{N_{+}} =\frac{N!}{N_{+}!\,(N-N_{+})!}.

Passo 4

A entropia total no formalismo microcanônico é
S(E,N)=k_{B}\ln\Omega(E,N) =k_{B}\ln\frac{N!}{N_{+}!\,(N-N_{+})!},
e a entropia por partícula (semelhante a usar k_{B}=1 ou dividindo por k_{B}) é
s(u)=\frac{S(E,N)}{N\,k_{B}} =\frac{1}{N}\ln\frac{N!}{N_{+}!\,(N-N_{+})!}.

Passo 5

Para N\gg1 usamos a aproximação de Stirling \ln n!\approx n\ln n-n em cada fatorial e definimos
x\equiv\frac{m}{N} =\frac{1}{N}\sum_{i}S_{i} =-\frac{E}{N\,\mu_{0}H} =-\frac{u}{\mu_{0}H}.
Obtemos então
s(u)\approx -\frac{1+x}{2}\ln\frac{1+x}{2} -\frac{1-x}{2}\ln\frac{1-x}{2}.
Voltando a u, fica
s(u)=-\frac{1-\frac{u}{\mu_{0}H}}{2}\, \ln\frac{1-\frac{u}{\mu_{0}H}}{2} -\frac{1+\frac{u}{\mu_{0}H}}{2}\, \ln\frac{1+\frac{u}{\mu_{0}H}}{2}.

Resposta

\Omega(E,N) =\frac{N!}{\bigl(\tfrac{N}{2}-\tfrac{E}{2\mu_{0}H}\bigr)!\, \bigl(\tfrac{N}{2}+\tfrac{E}{2\mu_{0}H}\bigr)!},
s(u) =-\frac{1-\tfrac{u}{\mu_{0}H}}{2}\, \ln\frac{1-\tfrac{u}{\mu_{0}H}}{2} -\frac{1+\tfrac{u}{\mu_{0}H}}{2}\, \ln\frac{1+\tfrac{u}{\mu_{0}H}}{2}.

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