Considere um gás suficientemente diluído, contido em um recipiente fechado que possui um manômetro. Esse manômetro mede a diferença de pressão entre o interior e o exterior do recipiente (o exterior está na pressão de 1 atm ). O recipiente também possui um êmbolo que pode fazer seu volume variar.
(a) (2,5) Considere que o recipiente possui um volume fixo de 50,0 pm 0,5 ml e uma temperatura fixa de 30 pm 1^circ C. Nessas condições, a pressão indicada pelo manômetro é de 3,5 pm 0,5 atm. Calcule o produto N kB, onde N é a quantidade de partículas dentro do recipiente e kB é a constante de Boltzmann. Expresse o resultado considerando as incertezas.
(b) (2,5) Use o resultado anterior para calcular a pressão do gás quando sua temperatura for 100 pm 1^circ C e seu volume for 30,0 pm 0,5 ml. Considere as incertezas.

Passo 1

O enunciado trata de um gás ideal em um recipiente onde um manômetro indica a diferença de pressão entre o interior e o exterior (esta última a 1 atm). No item (a) o volume é fixo em 50,0pm0,5 mL, a temperatura é 30pm1 ^circC e o manômetro marca 3,5pm0,5 atm (gauge). Precisamos usar a lei dos gases ideais na forma
Pint,V = N,kB,T
para determinar N,kB e propagar as incertezas.

Passo 2

Convertendo unidades e achando a pressão absoluta interior:
V = (50,0pm0,5),mL = (5,00pm0,05)times10^-5,m^3,
T = (30pm1)^circC = (303,15pm1),K,
Pgau>= = (3,5pm0,5),atm, Pext = 1,atm
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Pint = Pgau>= + Pext = (3,5+1),atmpm0,5,atm = (4,5pm0,5),atm
Convertendo para pascal ( 1,atm=1,013times10^5,Pa):
Pint = (4,5pm0,5)times1,013times10^5 = (4,5585pm0,5065)times10^5,Pa

Passo 3

Aplicando a lei dos gases ideais para isolar N,kB:
N,kB = Pint,VT
Substituindo os valores centrais:
N,kB = 4,5585times10^5,Pa;times;5,00times10^-5,m^3 303,15,K approx0,0752 J/K

Passo 4

Propagando incertezas via soma quadrática das incertezas relativas:
De<a(NkB)NkB = raizl(De<a PPr)^2 +l(De<a VVr)^2 +l(De<a TTr)^2 = raiz0,1111^2 + 0,0100^2 + 0,0033^2 approx0,1116
Portanto
De<a(NkB) = 0,1116times0,0752 J/K approx0,0084 J/K

Passo 5

No item (b) mudam temperatura e volume para
T2 = (100pm1)^circC = (373,15pm1),K, V2 = (30,0pm0,5),mL = (3,00pm0,05)times10^-5,m^3
A pressão absoluta interior será
Pint,2 = N,kB,T2V2
Usando o valor central de N,kB=0,0752 J/K:
Pint,2 = 0,0752cdot373,153,00times10^-5 approx9,36times10^5 Pa approx9,24 atm

Passo 6

Propagando incerteza de Pint,2:
De<a P2P2 = raizl(De<a(NkB)NkBr)^2 +l(De<a T2T2r)^2 +l(De<a V2V2r)^2 approxraiz0,1116^2 + 0,0027^2 + 0,0167^2 approx0,1128,
De<a Pint,2 = 0,1128times9,36times10^5,Pa approx1,06times10^5,Pa approx1,04 atm
Se quisermos a leitura do manômetro (gauge) subtraímos 1 atm do valor central, mas a incerteza não muda.

Resposta

(a) N,kB = (0,0752pm0,0084) J/K
(b) Pressão absoluta do gás
Pint,2 = (9,24pm1,04) atm
(leitura do manômetro: (8,24pm1,04) atm).

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