Responda às perguntas abaixo com base nos resultados obtidos:
Com base nos dados, há evidência estatística de que um projeto teve desempenho superior? Justifique.
Resposta:

Passo 1

O enunciado pede que eu responda: “Com base nos dados, há evidência estatística de que um projeto teve desempenho superior? Justifique.”
Informações fornecidas no enunciado que eu tenho agora: nenhuma — você não enviou os dados, nem os resultados numéricos, nem a descrição de como os projetos foram comparados (amostras independentes ou pareadas, variável de desempenho contínua ou categórica, tamanhos de amostra, médias, desvios, etc.).
Informações que seriam necessárias para responder corretamente (lista do que preciso que idealmente estivesse no enunciado):
  • se a variável de desempenho é contínua (ex.: nota, tempo, lucro) ou uma proporção/contagem (ex.: taxa de sucesso);
  • se as observações dos dois projetos são independentes ou pareadas (ex.: mesmos participantes testados em dois projetos = pareado);
  • tamanhos das amostras n_1 e n_2;
  • médias amostrais \bar{x}_1 e \bar{x}_2 (ou proporções \hat p_1,\hat p_2);
  • desvios-padrão amostrais s_1,s_2 (ou números de sucessos para proporções);
  • nível de significância desejado \alpha (se não informado, usa-se \alpha=0{,}05).
Sem essas informações numéricas não há como calcular estatística de teste, p-valor ou intervalo de confiança; portanto não posso dar uma conclusão concreta sobre “evidência estatística” a partir dos seus resultados — faltam os resultados.

Passo 2

Vou explicar passo a passo o procedimento correto que você usaria na prova para decidir se existe evidência estatística de que um projeto teve desempenho superior. Vou também ensinar os conceitos e fórmulas que você precisará aplicar; depois mostro um exemplo numérico ilustrativo (com números fictícios) para você ver a aplicação prática.
Primeiro, escolha do tipo de teste (regras práticas):
  • Se a variável for contínua e as duas amostras forem independentes → usar teste de comparação de médias entre duas amostras independentes (típico: teste t de Student; versão mais robusta: teste de Welch).
  • Se as medições forem pareadas (mesmos sujeitos medidos nos dois projetos) → usar teste t pareado.
  • Se a variável for uma proporção (sucessos/falhas) → usar teste para diferença de proporções (teste-z aproximado).
  • Se as amostras forem muito pequenas e não houver normalidade → considerar testes não paramétricos (ex.: Mann–Whitney para independentes, Wilcoxon para pareados).
Vou escolher, como método principal didático, o teste para diferença de médias entre duas amostras independentes (teste de Welch), porque é o caso mais comum e o método de Welch não exige assumir variâncias iguais (é mais seguro). Se seu caso for diferente (pareado ou proporções), veja os passos específicos mais adiante.

Passo 3

Conceitos básicos de teste de hipótese (aula rápida e amigável):
  • Hipótese nula H_0: geralmente representa “não há diferença” — aqui seria \displaystyle H_0:\\ \mu_1=\mu_2 (as médias de desempenho são iguais).
  • Hipótese alternativa H_A: o que queremos provar — se você quer mostrar que o projeto 1 é superior ao projeto 2 então \displaystyle H_A:\\ \mu_1>\mu_2. (Se só quer detectar qualquer diferença usa-se alternativa bilateral \mu_1\neq\mu_2).
  • Nível de significância \alpha: probabilidade tolerada de cometer erro do tipo I (rejeitar H_0 quando ela é verdadeira); usualmente \alpha=0{,}05.
  • Estatística de teste: número calculado a partir dos dados que, sob H_0, tem uma distribuição conhecida; usamos essa distribuição para obter o p‑valor.
  • p‑valor: probabilidade, sob H_0, de observar uma estatística tão extrema quanto a observada. Se p\le\alpha rejeitamos H_0 e dizemos que há evidência estatística a favor de H_A.
Interpretação prática: “evidência estatística de desempenho superior” significa que, com base no teste (e no \alpha escolhido), rejeitamos H_0 em favor de \mu_1>\mu_2 e o p‑valor é pequeno.

Passo 4

Fórmulas e significado de cada símbolo (teste de Welch — duas amostras independentes, variâncias não assumidas iguais). Suponha que temos duas amostras: amostra 1 (projeto 1) com tamanho n_1, média \bar{x}_1 e desvio-padrão s_1; amostra 2 com n_2, \bar{x}_2, s_2.
  • Diferença das médias amostrais: \displaystyle \Delta=\bar{x}_1-\bar{x}_2.
  • Erro padrão da diferença (quando variâncias são possivelmente diferentes):
SE=\sqrt{\frac{s_1^{2}}{n_1}+\frac{s_2^{2}}{n_2}}.
Aqui s_1^{2} e s_2^{2} são as variâncias amostrais (desvios ao quadrado).
  • Estatística t de Welch:
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{SE}.
  • Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite):
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}\right)^{2}}{\dfrac{\left(s_1^{2}/n_1\right)^{2}}{n_1-1}+\dfrac{\left(s_2^{2}/n_2\right)^{2}}{n_2-1}}.
  • Decisão: calcule t e o p‑valor associado à distribuição t com \nu graus de liberdade. Para alternativa unilateral \mu_1>\mu_2, p‑valor = P(T\ge t_\text{obs}). Rejeite H_0 se p‑valor \le\alpha.
Explicação de cada variável (com carinho):
  • \bar{x}_1,\bar{x}_2: médias observadas — representam o desempenho médio em cada projeto.
  • s_1,s_2: medidas de dispersão dentro de cada grupo — dizem o quanto as observações variam.
  • n_1,n_2: quantos dados você tem em cada projeto — quanto maiores, mais confiança nas estimativas.
Se, por outro lado, as variâncias parecem iguais e você quiser usar o teste t com variância pooled (menos robusto), usaríamos a variância combinada \displaystyle s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} e então
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}
com \nu=n_1+n_2-2. Mas só use pooled se tiver justificativa (variâncias parecidas).

Passo 5

Casos alternativos rápidos (pra você reconhecer qual usar):
  • Teste pareado (mesmos sujeitos): compute as diferenças d_i = x_{1i}-x_{2i}, calcule \bar d e s_d (desvio das diferenças). Estatística:
t=\frac{\bar d}{s_d/\sqrt{n}},
com \nu=n-1. Rejeita-se H_0:\\ \mu_d=0 se p‑valor pequeno.
  • Diferença de proporções: com x_1 sucessos em n_1 e x_2 em n_2, proporções \hat p_1=x_1/n_1, \hat p_2=x_2/n_2. Se testar H_0:\\ p_1=p_2, estatística-z aproximada:
z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}},
onde \hat p=\dfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}. Rejeita-se se p‑valor (da normal) \le\alpha.

Passo 6

Intervalo de confiança (uma maneira muito didática de ver evidência): para a diferença de médias, um intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% é
(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\\ \pm\\ t_{1-\alpha/2,\nu}\cdot SE.
Se esse intervalo não contém 0, então há evidência de diferença ao nível \alpha. Se o objetivo é provar superioridade de 1 sobre 2 (unilateral), verificar se o limite inferior do intervalo unilateral é > 0. Interpretação: o intervalo dá um intervalo plausível para \mu_1-\mu_2; se todo o intervalo está acima de zero, concluímos que \mu_1>\mu_2 com evidência estatística.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (fictício) — faço tudo passo a passo para você ver como calcular na prova:
Suponha (apenas exemplo) que os resultados mostraram: n_1=10,\\ \bar{x}_1=8{,}0,\\ s_1=2{,}0 e n_2=12,\\ \bar{x}_2=6{,}0,\\ s_2=2{,}0. Use \alpha=0{,}05.
  1. Diferença das médias:
\Delta=\bar{x}_1-\bar{x}_2=8{,}0-6{,}0=2{,}0.
  1. Erro padrão:
SE=\sqrt{\frac{2{,}0^{2}}{10}+\frac{2{,}0^{2}}{12}}=\sqrt{\frac{4}{10}+\frac{4}{12}}=\sqrt{0{,}4+0{,}333\ldots}=\sqrt{0{,}733\ldots}\approx0{,}856.
  1. Estatística t:
t=\frac{2{,}0}{0{,}856}\approx2{,}336.
  1. Graus de liberdade via Welch: primeiro calcule numerador e denominador da fórmula:
\text{num}=\left(\frac{4}{10}+\frac{4}{12}\right)^{2}\approx(0{,}7333)^{2}=0{,}537\ldots
\text{den}=\frac{\left(4/10\right)^{2}}{10-1}+\frac{\left(4/12\right)^{2}}{12-1}\approx\frac{0{,}16}{9}+\frac{0{,}1111}{11}\approx0{,}01778+0{,}01010\approx0{,}02788.
\nu\approx\frac{0{,}537}{0{,}02788}\approx19{,}3\\ (\text{use }\nu\approx19).
  1. P‑valor (alternativa unilateral \mu_1>\mu_2): consultar tabela t ou calculadora para t=2{,}336 com \nu=19 dá p‑valor aproximado 0{,}016 (unilateral) ou 0{,}032 (bilateral). Como \alpha=0{,}05, unilateral p‑valor 0{,}016<0{,}05 → rejeitamos H_0 e concluímos que há evidência de que projeto 1 é superior.
  2. Intervalo de confiança bilateral de 95\% para \mu_1-\mu_2: t_{0{,}975,19}\approx2{,}093. Então
\Delta\pm t\cdot SE = 2{,}0\pm 2{,}093\cdot0{,}856\approx 2{,}0\pm1{,}79,
ou seja intervalo aproximadamente (0{,}21,\\\ 3{,}79). Como o intervalo não contém 0 e é todo positivo, isso confirma evidência de superioridade.
Observação importante: esse era um exemplo com números fictícios só para mostrar o procedimento; não confunda com o seu caso real: para o seu problema eu preciso dos seus dados/resultados reais.

Passo 8

O que exatamente você deve escrever na sua prova (modelo de resposta concisa e completa):
  1. declarar o teste usado (ex.: teste t de Welch para duas amostras independentes), e justificar por que (variáveis contínuas, amostras independentes, variâncias possivelmente diferentes);
  2. apresentar os valores \bar{x}_1,\bar{x}_2,s_1,s_2,n_1,n_2;
  3. calcular SE, estatística t e graus de liberdade \nu;
  4. apresentar p‑valor e comparar com \alpha;
  5. concluir em linguagem da aplicação (ex.: “há evidência estatística ao nível de 5% de que o projeto 1 teve desempenho superior ao projeto 2”) e, se possível, dar intervalo de confiança para \mu_1-\mu_2 para quantificar a diferença.
Dica amiga: sempre relate suposições (normalidade aproximada ou n grande, independência) e, se possível, mostre um gráfico simples (boxplots) para apoiar a escolha do teste.

Passo 9

Resumo prático final antes da resposta curta: sem os números/resultados que o enunciado diz “com base nos resultados obtidos”, não há cálculo possível, logo não há condição para afirmar se existe ou não evidência estatística. Se você me mandar as medidas (médias, desvios, tamanhos das amostras ou os resultados do teste já calculados: estatística, p‑valor, intervalo), eu aplico exatamente o procedimento acima e te dou a conclusão pronta, com texto pronto para a prova.

Resposta

Não é possível afirmar: os dados/resultados necessários para realizar o teste (médias, desvios, tamanhos das amostras ou p‑valor/estatística já calculados) não foram fornecidos, portanto não há como concluir se há evidência estatística de desempenho superior.

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