Considere uma grande caixa d’água na qual é feito um pequeno orifício.
(a) Desconsiderando a velocidade
da parte superior, usando a equação de Bernoulli, mostre que a velocidade da água ao sair do orifício é
(b) Agora mostre que, sendo
(a velocidade superior da água é não-nula), a velocidade
de saída pelo orifício é dada por:
Em ambos casos considere a pressão nos dois pontos como sendo a pressão atmosférica.
(a) Desconsiderando a velocidade
(b) Agora mostre que, sendo
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
- (a) Desconsiderando a velocidade da superfície, mostrar que a velocidade da água que sai pelo orifício é
. - (b) Mantendo a velocidade da superfície não-nula (
), mostrar que a velocidade de saída satisfaz
Informações e condições dadas (úteis para a resolução):
- A pressão nos dois pontos considerados (superfície livre e saída do orifício) é a pressão atmosférica (mesma nos dois pontos).
- A altura vertical entre a superfície livre e o centro do orifício é
. Vou tomar a altura da saída como e da superfície como . - Há um orifício em uma grande caixa d’água; a água é considerada incompressível e sem perda por viscosidade (hipóteses implícitas para usar a equação que vamos usar).
- As velocidades nos dois pontos são
(superfície) e (saída pelo orifício).
Nenhuma outra informação adicional será solicitada; vou aplicar a relação de energia (Bernoulli) entre superfície e orifício.
Passo 2
Apresentando a ferramenta central: a equação de Bernoulli (forma usual usada aqui). Para um escoamento estacionário, incompressível e sem atrito, ao longo de uma mesma linha de corrente temos a quantidade
onde:
-
é a pressão no ponto considerado (unidade: Pa), -
é a densidade do fluido (unidade: kg/m^3), -
é a velocidade do fluido no ponto (unidade: m/s), -
é a aceleração da gravidade (unidade: m/s^2), -
é a cota vertical do ponto (unidade: m).
Explicação física rápida e simples: essa fórmula representa conservação de energia por unidade de massa: a energia por unidade de massa associada à pressão (
), à energia cinética (
) e à energia potencial gravitacional (
) permanece constante ao longo da corrente se não há perdas por atrito nem troca de energia externa.
Passo 3
Aplicando Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e a saída do orifício (ponto 2). Escrevo a equação nos dois pontos:
Agora uso as informações do enunciado:
-
pressão atmosférica, logo e esses termos se cancelam. - tomo
e .
Com isso a equação fica:
Passo 4
Resolvendo o item (a): desconsiderando a velocidade da superfície, ou seja, assumindo
. Substituo
na equação do passo anterior:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Tomando a raiz positiva (velocidade escalar, sentido de saída),
Interpretação rápida: a velocidade de saída é a que um corpo adquiria ao cair livremente pela mesma altura
— essa é a famosa fórmula de Torricelli.
Passo 5
Agora o item (b): mantenho
. Volto à forma já obtida no passo 3, que foi a versão simplificada da equação de Bernoulli depois de cancelar as pressões:
Vou transformar essa relação para chegar na forma pedida.
Passo 6
Faço álgebra básica sobre a equação do passo anterior. Multiplico tudo por
para eliminar o meio:
Essa é a forma direta e comum: a energia cinética por unidade de massa na saída (
) é a soma da energia cinética da superfície (
) mais a energia potencial convertida (
).
Passo 7
Agora manipulo essa expressão para obter exatamente a forma pedida no enunciado. Parto de
Coloco
em evidência no lado esquerdo escrevendo
:
Agora isolo
dividindo pelo fator entre parênteses:
E essa é exatamente a forma que o enunciado pede. Observação útil: essa equação é apenas uma reescrita da relação simples
; aparece
também no denominador do lado direito por causa da manipulação algébrica.
Passo 8
Comentários finais e intuição:
- No caso (a) a hipótese
foi a que retornou a forma simples de Torricelli . - No caso (b) a forma
é a mais direta e clara; a forma pedida pelo enunciado é algebraicamente equivalente e mostra o mesmo balanço energético, apenas escrita de modo a destacar o fator . - Fisicamente, em tanques muito grandes a velocidade da superfície
é muito pequena (tende a zero), daí a aproximação do item (a) ser adequada. Se a superfície se mover significativamente, seu termo cinético precisa ser levado em conta (item (b)). - Verifique sempre as hipóteses: incompressibilidade, fluxo estacionário e desprezo de perdas por atrito são necessárias para aplicar diretamente Bernoulli nessa forma.