Determine a equação da reta que passa pelos pontos A e B.
b) Determine a equação da reta que passa pelo ponto C e é paralela à reta AB.
c) Determine a equação da reta que passa pelo ponto C e é perpendicular à reta AB.
d) Calcule a distância do ponto C à reta AB.
i) Represente no mesmo sistema de eixos as três retas consideradas.
ii) Determine a área do triângulo ABC.
iii) Determine o perímetro do triângulo ABC.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre as retas e o triângulo formados pelos pontos A, B e C. Porém o enunciado que você me enviou não dá as coordenadas numéricas desses pontos. Como não posso inventar valores, vou resolver de forma genérica em termos das coordenadas dos pontos. Assim, coloque:
A=(x_A,y_A),\qquad B=(x_B,y_B),\qquad C=(x_C,y_C).
Lista do que se pede:
  1. (a) Equação da reta que passa por A e B.
  2. (b) Equação da reta que passa por C e é paralela a AB.
  3. (c) Equação da reta que passa por C e é perpendicular a AB.
  4. (d) Distância do ponto C à reta AB.
  5. (i) Representar no mesmo sistema as três retas (descrição de como fazer).
  6. (ii) Área do triângulo ABC.
  7. (iii) Perímetro do triângulo ABC.
Vou trabalhar passo a passo com fórmulas e explicações para você saber exatamente o que fazer na prova, usando as coordenadas simbólicas acima.

Passo 2

Calcular o coeficiente angular (inclinação) da reta que passa por A e B. Esse coeficiente angular é a razão da variação em y pela variação em x. Definimos:
m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A},
desde que x_B\neq x_A. Explicação didática: y_B-y_A é quanto a coordenada y muda quando você vai de A a B; x_B-x_A é quanto a coordenada x muda. A razão dá a inclinação da reta. Se x_B=x_A a reta é vertical e o coeficiente angular não existe (caso tratado adiante).

Passo 3

Equação da reta AB em forma ponto-inclinação e em forma geral. Usando a forma ponto-inclinação (útil na prova):
y-y_A = m_{AB}\,(x-x_A).
Explicando: essa equação diz que a diferença entre y e y_A é a inclinação vezes a diferença entre x e x_A — é a forma padrão quando conhecemos um ponto e a inclinação.
Para obter a forma geral Ax+By+C=0 (útil para distância), reorganize:
comece por multiplicar e rearranjar:
y - y_A = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A).
Multiplicando ambos os lados por x_B-x_A e trazendo tudo para um lado:
(y_B-y_A)\,x - (x_B-x_A)\,y + \big((x_B-x_A)y_A -(y_B-y_A)x_A\big)=0.
Definimos, portanto,
A = y_B-y_A,\qquad B = -(x_B-x_A),\qquad C = (x_B-x_A)y_A -(y_B-y_A)x_A,
e a reta AB fica
A x + B y + C = 0.
Observação do caso vertical: se x_B=x_A então AB é a reta vertical x=x_A. Nesse caso a forma geral é 1\cdot x + 0\cdot y - x_A =0.

Passo 4

Equação da reta que passa por C e é paralela a AB (item b). Duas retas são paralelas quando têm a mesma inclinação. Logo, se x_B\neq x_A, a equação em forma ponto-inclinação é
y-y_C = m_{AB}\,(x-x_C).
Na forma geral use os mesmos coeficientes A,B de AB (porque retas paralelas têm os mesmos A,B até um fator constante):
A x + B y + C' = 0,
onde C' = -A x_C - B y_C (assim a reta passa por C). Se AB for vertical (caso x_B=x_A), então a paralela é a reta vertical x=x_C.

Passo 5

Equação da reta que passa por C e é perpendicular a AB (item c). Se m_{AB} existe (isto é, x_B\neq x_A e m_{AB}\neq 0), então o coeficiente angular da perpendicular é
m_{\perp}=-\frac{1}{m_{AB}}.
Explicação didática simples: inclinações de retas perpendiculares multiplicam-se e dão -1. Assim, a reta perpendicular que passa por C tem equação ponto-inclinação
y-y_C = m_{\perp}\,(x-x_C).
Casos especiais:
  • Se AB for horizontal ( m_{AB}=0), então a perpendicular é vertical e tem equação x=x_C.
  • Se AB for vertical ( x_B=x_A), então m_{AB} não existe e a perpendicular é horizontal com equação y=y_C.

Passo 6

Distância do ponto C à reta AB (item d). Esta fórmula é muito usada na prova: se a reta AB está na forma geral
A x + B y + C = 0,
então a distância de um ponto P=(x_0,y_0) a essa reta é
d=\frac{\big|A x_0 + B y_0 + C\big|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
Explicando a fórmula: o numerador é o valor absoluto do substituído na equação da reta (medindo “quanto o ponto viola” a igualdade), e o denominador normaliza pelo comprimento do vetor normal (A,B). Aplicando ao nosso ponto C=(x_C,y_C) e usando os A,B,C determinados no Passo 3:
d=\frac{\big|A x_C + B y_C + C\big|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
No caso em que AB é vertical ( x_B=x_A), a distância é simplesmente |x_C-x_A|. No caso em que AB é horizontal ( y_B=y_A), a distância é |y_C-y_A|.

Passo 7

Como representar no mesmo sistema de eixos as três retas (item i). Eu não posso desenhar aqui, mas digo passo a passo como fazer na prova ou num papel:
  1. Marque os pontos A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B) e C=(x_C,y_C).
  2. Trace a reta AB ligando A e B (use uma régua).
  3. A partir de C, trace a reta paralela a AB seguindo a mesma inclinação (pode usar um esquadro ou computar dois pontos com a mesma inclinação).
  4. A partir de C, trace a reta perpendicular a AB (use o fato de que a inclinação é -1/m_{AB}, ou um esquadro para retas perpendiculares).
  5. Identifique o pé da perpendicular (ponto de projeção de C sobre AB). Esse ponto pode ser obtido resolvendo o sistema entre AB e a perpendicular por C (opcional na prova).

Passo 8

Área do triângulo ABC (item ii). Use a fórmula do determinante (ou “shoelace”), muito prática e sem necessidade de projetar nada. A área é
\text{Area}=\frac{1}{2}\Big|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\Big|.
Explicação didática: essa fórmula vem do determinante que mede a área do paralelogramo formado pelos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}; a área do triângulo é metade do módulo desse determinante. Na prova, você calcula essa expressão com as coordenadas dadas.

Passo 9

Perímetro do triângulo ABC (item iii). Primeiro calcule os comprimentos dos lados usando a fórmula da distância entre pontos:
\begin{aligned} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\\[4pt] BC&=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2},\\[4pt] CA&=\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}. \end{aligned}
O perímetro é a soma:
\text{Perímetro}=AB+BC+CA.í
Explicação: a fórmula vem do teorema de Pitágoras aplicada à diferença de coordenadas; cada distância é a hipotenusa do triângulo formado pelas diferenças em x e y.]

Passo 10

Observações finais e verificação de casos especiais (importante para a prova):
  • Se x_B=x_A (reta vertical), use equações x=x_A para AB; paralela por C é x=x_C; perpendicular por C é y=y_C.
  • Se y_B=y_A (reta horizontal), use y=y_A para AB; paralela por C é y=y_C; perpendicular por C é x=x_C.
  • Se precisar do pé da perpendicular (projeção de C em AB) para alguma razão, resolva o sistema da reta AB com a reta perpendicular por C para obter as coordenadas do pé; isso também pode ser usado para checar a distância.

Resposta

(a) Equação de AB: \displaystyle y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\,(x-x_A) (ou, em forma geral, \displaystyle (y_B-y_A)x-(x_B-x_A)y+((x_B-x_A)y_A-(y_B-y_A)x_A)=0).
(b) Equação da reta por C paralela a AB: \displaystyle y-y_C=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\,(x-x_C) (se AB vertical, então x=x_C).
(c) Equação da reta por C perpendicular a AB: \displaystyle y-y_C=-\frac{1}{m_{AB}}\,(x-x_C) com \displaystyle m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} (se AB horizontal então x=x_C; se AB vertical então y=y_C).
(d) Distância de C a AB: \displaystyle d=\frac{\big|A x_C + B y_C + C\big|}{\sqrt{A^2+B^2}}, onde \displaystyle A=y_B-y_A,\;B=-(x_B-x_A),\;C=(x_B-x_A)y_A-(y_B-y_A)x_A.
(i) Representação: traçar os pontos A,B,C, ligar A a B para obter AB, a partir de C traçar a paralela (mesma inclinação) e a perpendicular (inclinação -1/m_{AB}); identificar o pé da perpendicular resolvendo o sistema se necessário.
(ii) Área do triângulo ABC: \displaystyle \text{Area}=\frac{1}{2}\Big|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\Big|.
(iii) Perímetro do triângulo ABC: \displaystyle AB+BC+CA com \displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\;BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2},\;CA=\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}.

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