Considere o grupo \mathbb{Z}_{17}^{*}=\{\overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{6}, \overline{7}, \overline{8}, \overline{9}, \overline{10}, \overline{11}, \overline{12}, \overline{13}, \overline{14}, \overline{15}, \overline{16}\}, de ordem o\left(\mathbb{Z}_{17}^{*}\right)=16.
(a) Determine o período de \overline{16}.
(b) Encontre os elementos do subgrupo \langle\overline{3}\rangle.
(c) Responda, justificando sua resposta, se \mathbb{Z}_{17}^{*} é cíclico.
(d) Verifique se cada um dos subconjuntos a seguir é um subgrupo de \mathbb{Z}_{17}^{*}.
(i) H_{1}=\{\overline{1}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{8}, \overline{9}, \overline{13}, \overline{15}, \overline{16}\}
(ii) H_{2}=\{\overline{1}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{8}, \overline{9}, \overline{15}, \overline{16}\}

Passo 1

O enunciado apresenta o grupo multiplicativo \mathbb{Z}_{17}^{*} de ordem \#\mathbb{Z}_{17}^{*}=16. Precisamos:
(a) determinar a ordem de \overline{16};
(b) encontrar o subgrupo \langle\overline{3}\rangle;
(c) decidir se o grupo é cíclico;
(d) verificar se certos subconjuntos são subgrupos.
Usaremos conceitos de ordem de elemento, geração de subgrupos e o Teorema de Lagrange.

Passo 2

Para (a), a ordem de \overline{16} é o menor k>0 tal que \overline{16}^{k}=\overline{1}. Calculamos:
\overline{16}^{1}=\overline{16},\quad \overline{16}^{2}=\overline{16\cdot16}=\overline{256}=\overline{1} \quad(\text{pois }256\equiv1\pmod{17}).
Logo, a ordem de \overline{16} é 2.

Passo 3

Para (b), calculamos sucessivas potências de \overline{3} até retornar a \overline{1}:
\overline{3}^{1}=\overline{3},\; \overline{3}^{2}=\overline{9},\; \overline{3}^{3}=\overline{27}=\overline{10},\; \overline{3}^{4}=\overline{30}=\overline{13},\; \ldots,\; \overline{3}^{16}=\overline{1}.
Os valores obtidos são
\overline{3},\overline{9},\overline{10},\overline{13},\overline{5},\overline{15},\overline{11},\overline{16},\overline{14},\overline{8},\overline{7},\overline{4},\overline{12},\overline{2},\overline{6},\overline{1}.
Como esta lista tem 16 elementos,
\langle\overline{3}\rangle=\mathbb{Z}_{17}^{*}.

Passo 4

Para (c), como existe \overline{3} de ordem 16=\#\mathbb{Z}_{17}^{*}, o grupo é gerado por \overline{3}, ou seja, é cíclico.

Passo 5

Para (d)(i), o conjunto
H_{1}=\{\overline{1},\overline{2},\overline{4},\overline{8},\overline{9},\overline{13},\overline{15},\overline{16}\}
tem 8 elementos, divisor de 16, e de fato é \langle\overline{2}\rangle, logo contém todos os produtos e inversos, sendo subgrupo.
Para (d)(ii), o conjunto
H_{2}=\{\overline{1},\overline{2},\overline{4},\overline{8},\overline{9},\overline{15},\overline{16}\}
tem 7 elementos, que não divide 16, violando o Teorema de Lagrange, portanto não pode ser subgrupo (nem fechado: \overline{2}\cdot\overline{15}=\overline{30}=\overline{13}\notin H_{2}).

Resposta

(a) A ordem de \overline{16} é 2.
(b) \langle\overline{3}\rangle=\{\overline{3},\overline{9},\overline{10},\overline{13},\overline{5},\overline{15},\overline{11},\overline{16},\overline{14},\overline{8},\overline{7},\overline{4},\overline{12},\overline{2},\overline{6},\overline{1}\}.
(c) Sim, \mathbb{Z}_{17}^{*} é cíclico (gerado por \overline{3}).
(d)(i) H_{1} é subgrupo.
(d)(ii) H_{2} não é subgrupo.

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