(2,0 pts) Marque (V) verdadeiro ou (F) falso, justificando cada resposta.
(F) O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo. Se
é um espaço vetorial e
, então
(F) Se
e
forem vetores ortogonais, então
. Se
é um espaço vetorial e
são ortogonais então
enquanto
(F) Se
e
forem vetores ortogonais, então
.
Se
é um espaço vetorial e
, então
enquanto
.
(F) Seja
um operador cujo polinômio característico é
. Se
, então
é diagonalizável. Para ser diagonalizável o polinômio minimal não pode ter raízes com multiplicidade maior que 1.
(F) O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo. Se
(F) Se
(F) Se
(F) Seja
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre espaços com produto interno e operadores lineares, pede para marcar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. Vamos usar as propriedades de:
- produto interno: simetria, linearidade e positividade (
se ); - norma associada:
e o teorema de Pitágoras para vetores ortogonais; - critério de diagonalizabilidade via polinômio mínimo: um operador é diagonalizável se, e somente se, seu polinômio mínimo se fatorar em raízes simples.
Passo 2
Afirmação 1: “O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo. Se
e
, então
.”
Contraponto: de fato, , que é negativo pois
. Logo a afirmação de que “o produto interno não pode ser negativo” é falsa.
Contraponto: de fato,
Passo 3
Afirmação 2: “Se
e
forem ortogonais, então
.”
Contraponto: ortogonalidade implica , de modo que
, mas
quando
. Logo a igualdade dada é falsa.
Contraponto: ortogonalidade implica
Passo 4
Afirmação 3: “Se
e
forem ortogonais, então
.”
Contraponto: pelo teorema de Pitágoras,
Contraponto: pelo teorema de Pitágoras,
e não
(que é estritamente maior, a não ser que um dos vetores seja zero). Portanto a afirmação é falsa.
Passo 5
Afirmação 4: “Seja
com polinômio característico
. Se o polinômio mínimo
, então
é diagonalizável. Para ser diagonalizável o polinômio mínimo não pode ter raízes com multiplicidade maior que 1.”
Contraponto: aqui tem fator
, raiz de multiplicidade 2, o que impede a diagonalização. Logo a afirmação é falsa.
Contraponto: aqui
Resposta
- F
- F
- F
- F