(2,0 pts) Marque (V) verdadeiro ou (F) falso, justificando cada resposta.
(F) O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo. Se V \neq 0 é um espaço vetorial e v \in V \backslash\{0\}, então \langle v,-v\rangle<0
(F) Se u e v forem vetores ortogonais, então |\langle u, v\rangle|=\|u\| \cdot\|v\|. Se \operatorname{dim} V \geq 2 é um espaço vetorial e v, u \in V \backslash\{0\} são ortogonais então \langle v, u\rangle=0 enquanto \|u\| \cdot\|v\|>0
(F) Se u e v forem vetores ortogonais, então \|u+v\|=\|u\|+\|v\|.
Se V \neq 0 é um espaço vetorial e v \in V \backslash\{0\}, então \|v-v\|=0 enquanto \|v\|+\|-v\|=2\|v\|.
(F) Seja T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} um operador cujo polinômio característico é P_{T}(\lambda)=(\lambda-1)^{2}(\lambda+2)(\lambda+1). Se m_{T}(x)=P_{T}(x), então T é diagonalizável. Para ser diagonalizável o polinômio minimal não pode ter raízes com multiplicidade maior que 1.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre espaços com produto interno e operadores lineares, pede para marcar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. Vamos usar as propriedades de:
  • produto interno: simetria, linearidade e positividade ( \langle v,v\rangle>0 se v\neq0);
  • norma associada: \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} e o teorema de Pitágoras para vetores ortogonais;
  • critério de diagonalizabilidade via polinômio mínimo: um operador é diagonalizável se, e somente se, seu polinômio mínimo se fatorar em raízes simples.

Passo 2

Afirmação 1: “O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo. Se V\neq0 e v\neq0, então \langle v,-v\rangle<0.”
Contraponto: de fato, \langle v,-v\rangle=-\langle v,v\rangle=-\|v\|^2, que é negativo pois \|v\|^2>0. Logo a afirmação de que “o produto interno não pode ser negativo” é falsa.

Passo 3

Afirmação 2: “Se u e v forem ortogonais, então \lvert\langle u,v\rangle\rvert=\|u\|\cdot\|v\|.”
Contraponto: ortogonalidade implica \langle u,v\rangle=0, de modo que \lvert\langle u,v\rangle\rvert=0, mas \|u\|\cdot\|v\|>0 quando u,v\neq0. Logo a igualdade dada é falsa.

Passo 4

Afirmação 3: “Se u e v forem ortogonais, então \|u+v\|=\|u\|+\|v\|.”
Contraponto: pelo teorema de Pitágoras,
\|u+v\|=\sqrt{\|u\|^2+\|v\|^2}
e não \|u\|+\|v\| (que é estritamente maior, a não ser que um dos vetores seja zero). Portanto a afirmação é falsa.

Passo 5

Afirmação 4: “Seja T:\mathbb R^4\to\mathbb R^4 com polinômio característico P_T(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+2)(\lambda+1). Se o polinômio mínimo m_T(x)=P_T(x), então T é diagonalizável. Para ser diagonalizável o polinômio mínimo não pode ter raízes com multiplicidade maior que 1.”
Contraponto: aqui m_T tem fator (\lambda-1)^2, raiz de multiplicidade 2, o que impede a diagonalização. Logo a afirmação é falsa.

Resposta

  1. F
  2. F
  3. F
  4. F

Exercícios relacionados