Seja T: M_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow M_{2}(\mathbb{R}) o operador dado por
T\left(\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc} 2 c+b & a+c \\\\ -2 c & d \end{array}\right]
a) ( 2,0 \mathrm{pts} ) Determine os autovalores e autovetores de T.
Solução: Considerando c a base canônica de M_{2}(\mathbb{R}), temos que a matriz de T em relação à base c é
[T]_{c}^{c}=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Assim,
P_{T}(\lambda)=\left|\begin{array}{cccc}0-\lambda & 1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0-\lambda & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2-\lambda & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1-\lambda\end{array}\right|=(1-\lambda)^{2}(-2-\lambda)(-1-\lambda)
Calculando os autoespaços:
O autoespaço a ssociado ao autovalor \lambda_{i} é o conjunto das matrizes em M_{2}(\mathbb{R}) que são soluções do sista \left[[T]_{c}^{c}-\lambda_{i} I_{4}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}a \\\ b \\\ c \\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]
Resolvendo os três sistemas obtemos que
V_{1}=\left\langle\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]\right\rangle
V_{-2}=\left\langle\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -1 & 0\end{array}\right]\right\rangle
V_{-1}=\left\langle\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]\right\rangle
b) ( 1,0 \mathrm{pt} ) T é diagonalizável?
Solução: T é diagonalizável pois
\beta=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} -1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right]\right\}
é uma base de M_{2}(\mathbb{R}) formada por autovetores de T.

Passo 1

O enunciado define
T: M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}) por
T\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr) =\begin{pmatrix}2c+b & a+c\\\ -2c & d\end{pmatrix}.
Precisamos encontrar os autovalores e autovetores de T e decidir se T é diagonalizável. Para isso, vamos usar a base canônica
\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}
de M_{2}(\mathbb{R}) e calcular a matriz de T, seu polinômio característico e os autoespaços.

Passo 2

Identificando
\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}
com o vetor coluna \begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix}, obtemos
[T]_{c}^{c} =\begin{pmatrix} 0&1&2&0\\\\ 1&0&1&0\\\\ 0&0&-2&0\\\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico é
P_{T}(\lambda) =\det\bigl([T]_{c}^{c}-\lambda I_{4}\bigr) =\det\begin{pmatrix} -\lambda&1&2&0\\\\ 1&-\lambda&1&0\\\\ 0&0&-2-\lambda&0\\\\ 0&0&0&1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^{2}(-1-\lambda)(-2-\lambda).
Logo os autovalores são
\lambda=1 (algébrica 2),
\lambda=-1 (algébrica 1) e
\lambda=-2 (algébrica 1).

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos
\bigl([T]_{c}^{c}-I\bigr)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -1&1&2&0\\\\ 1&-1&1&0\\\\ 0&0&-3&0\\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Dessa forma c=0, a=b e d livre. Assim
V_{1} =\Bigl\{\begin{pmatrix}a&a\\\ 0&d\end{pmatrix}:a,d\in\mathbb{R}\Bigr\} =\mathrm{span}\!\Bigl\{\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\}.

Passo 5

Para \lambda=-1 resolvemos
\bigl([T]_{c}^{c}+I\bigr)v=0 \quad\Longrightarrow\quad c=0,\;d=0,\;b=-a,
logo
V_{-1} =\Bigl\{\begin{pmatrix}a&-a\\\ 0&0\end{pmatrix}:a\in\mathbb{R}\Bigr\} =\mathrm{span}\!\Bigl\{\begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}\Bigr\}.

Passo 6

Para \lambda=-2 resolvemos
\bigl([T]_{c}^{c}+2I\bigr)v=0 \quad\Longrightarrow\quad b=0,\;d=0,\;a=-c,
logo
V_{-2} =\Bigl\{\begin{pmatrix}-c&0\c&0\end{pmatrix}:c\in\mathbb{R}\Bigr\} =\mathrm{span}\!\Bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&0\end{pmatrix}\Bigr\}.

Passo 7

Como \dim V_{1}+\dim V_{-1}+\dim V_{-2}=2+1+1=4=\dim M_{2}(\mathbb{R}), segue que T é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e autovetores de T:
\lambda=1,
\displaystyle V_{1}=\mathrm{span}\!\Bigl\{\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\};
\lambda=-1,
\displaystyle V_{-1}=\mathrm{span}\!\Bigl\{\begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}\Bigr\};
\lambda=-2,
\displaystyle V_{-2}=\mathrm{span}\!\Bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&0\end{pmatrix}\Bigr\}.
T é diagonalizável.

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