Seja
o operador dado por
a) (
) Determine os autovalores e autovetores de
.
Solução: Considerando
a base canônica de
, temos que a matriz de
em relação à base
é
Assim,
Calculando os autoespaços:
O autoespaço a ssociado ao autovalor
é o conjunto das matrizes em
que são soluções do sista
Resolvendo os três sistemas obtemos que
b) (
)
é diagonalizável?
Solução:
é diagonalizável pois
é uma base de
formada por autovetores de
.
Calculando os autoespaços:
O autoespaço a ssociado ao autovalor
Resolvendo os três sistemas obtemos que
b) (
Passo 1
O enunciado define
T: por
T:
Precisamos encontrar os autovalores e autovetores de
e decidir se
é diagonalizável. Para isso, vamos usar a base canônica
de e calcular a matriz de
, seu polinômio característico e os autoespaços.
de
Passo 2
Identificando
com o vetor coluna , obtemos
com o vetor coluna , obtemos
Passo 3
O polinômio característico é
Logo os autovalores são
(algébrica 2),
(algébrica 1) e
(algébrica 1).
Passo 4
Para
resolvemos
Dessa forma
,
e
livre. Assim
Passo 5
Para
resolvemos
logo
Passo 6
Para
resolvemos
logo
Passo 7
Como
, segue que
é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e autovetores de
:
,
,
,