Considere os grupos \mathrm{G}=\mathbb{Z}_{2} e \mathrm{H}=\mathbb{Z}_{3}. Descreva \mathrm{G} \times \mathrm{H}. Ele é cíclico? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para descrever o grupo \mathrm{G}\times\mathrm{H} com \mathrm{G}=\mathbb{Z}_{2} e \mathrm{H}=\mathbb{Z}_{3}, e verificar se ele é cíclico. Vamos usar a definição de produto direto de grupos cíclicos, o cálculo de ordem do produto e a propriedade de que se \gcd(m,n)=1, então \mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n} é cíclico de ordem mn.
Queremos o menor n>0 tal que \bigl(n\!\!\!\pmod2,n\!\!\!\pmod3\bigr)=(0,0). Isso exige que n seja múltiplo de 2 e de 3, ou seja, múltiplo de \operatorname{lcm}(2,3)=6. Logo\r
6\cdot(1,1)=(0,0) \quad\text{e nenhum }1\le n<6\text{ faz isso.}\r
Portanto \mathrm{ord}(1,1)=6.
Passo 5
Como existe elemento de ordem igual ao tamanho do grupo, \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3} é cíclico e gerado por (1,1). Além disso, é isomorfo a \mathbb{Z}_{6}.
Resposta
\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(0,2),(1,2)\}, é cíclico, gerado por (1,1), e isomorfo a \mathbb{Z}_{6}.