Considere os grupos \mathrm{G}=\mathbb{Z}_{2} e \mathrm{H}=\mathbb{Z}_{3}. Descreva \mathrm{G} \times \mathrm{H}. Ele é cíclico? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o grupo \mathrm{G}\times\mathrm{H} com \mathrm{G}=\mathbb{Z}_{2} e \mathrm{H}=\mathbb{Z}_{3}, e verificar se ele é cíclico. Vamos usar a definição de produto direto de grupos cíclicos, o cálculo de ordem do produto e a propriedade de que se \gcd(m,n)=1, então \mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n} é cíclico de ordem mn.

Passo 2

Por definição,\r
\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3} =\{(a,b)\mid a\in\{0,1\},\,b\in\{0,1,2\}\}
com operação componente a componente módulo 2 e módulo 3. Assim \bigl|\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\bigr|=2\cdot3=6.

Passo 3

Listando todos os elementos, temos\r
\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(0,2),(1,2)\}.\r
Para ver se o grupo é cíclico, basta encontrar um elemento de ordem 6.

Passo 4

Considere o elemento (1,1). A n-ésima potência (no caso, a soma n vezes) é\r
n\cdot(1,1)=\bigl(n\!\!\!\pmod2,\;n\!\!\!\pmod3\bigr).\r
Queremos o menor n>0 tal que \bigl(n\!\!\!\pmod2,n\!\!\!\pmod3\bigr)=(0,0). Isso exige que n seja múltiplo de 2 e de 3, ou seja, múltiplo de \operatorname{lcm}(2,3)=6. Logo\r
6\cdot(1,1)=(0,0) \quad\text{e nenhum }1\le n<6\text{ faz isso.}\r
Portanto \mathrm{ord}(1,1)=6.

Passo 5

Como existe elemento de ordem igual ao tamanho do grupo, \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3} é cíclico e gerado por (1,1). Além disso, é isomorfo a \mathbb{Z}_{6}.

Resposta

\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(0,2),(1,2)\}, é cíclico, gerado por (1,1), e isomorfo a \mathbb{Z}_{6}.

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