Mostre que ( \mathbb{Z}_{4},+ ) é isomorfo ao grupo \langle i\rangle \subset \mathbb{C}^{*}, onde i=\sqrt{ }-1, com multiplicação complexa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o grupo \bigl(\mathbb{Z}_{4},+\bigr) é isomorfo ao subgrupo \langle i\rangle\subset\mathbb{C}^{*}, onde i=\sqrt{-1} e a operação em \langle i\rangle é a multiplicação complexa. Para isso, vamos usar o conceito de isomorfismo de grupos: uma bijeção que preserva a operação.

Passo 2

Recordando a teoria, um mapeamento \varphi\colon G\to H entre grupos é um isomorfismo se e somente se
1. \varphi é homomorfismo: \varphi(x\cdot_G y)=\varphi(x)\cdot_H\varphi(y) para todos x,y\in G.
2. \varphi é bijetivo (injetivo e sobrejetivo).
Em \mathbb{Z}_4 a operação + é a adição módulo 4. No grupo \langle i\rangle temos os elementos
\langle i\rangle = \{\,1,\;i,\;-1,\;-i\}
com a multiplicação usual de complexos.

Passo 3

Definimos o candidato a isomorfismo \varphi\colon\mathbb{Z}_4\to\langle i\rangle por
\varphi\bigl(\overline{k}\bigr)=i^k,
onde \overline{k} é a classe de k em \mathbb{Z}_4. Essa definição está bem dada porque i^{k+4}=i^k, então depende só da classe de k módulo 4.

Passo 4

Verificamos que \varphi é homomorfismo:
\varphi\bigl(\overline{a}+\overline{b}\bigr) =\varphi\bigl(\overline{a+b}\bigr) = i^{\,a+b} = i^a\cdot i^b =\varphi\bigl(\overline{a}\bigr)\;\varphi\bigl(\overline{b}\bigr).

Passo 5

Mostramos que \varphi é injetiva. Se \varphi(\overline{k})=1, então i^k=1, o que implica que k é múltiplo de 4. Logo \overline{k}=\overline{0}. Assim o núcleo de \varphi é trivial e \varphi é injetiva. Como \#\mathbb{Z}_4=4 e \#\langle i\rangle=4, a injetividade implica sobrejetividade, ou podemos notar diretamente que cada elemento de \langle i\rangle é i^k para algum k\in\{0,1,2,3\}.

Resposta

A aplicação
\varphi\colon\mathbb{Z}_4\to\langle i\rangle, \quad \varphi\bigl(\overline{k}\bigr)=i^k
é um isomorfismo de grupos entre \bigl(\mathbb{Z}_4,+\bigr) e \bigl\langle i\bigr\rangle\subset\mathbb{C}^*.

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