No grupo
, determine todos os subgrupos possíveis. Verifique se a ordem de cada um divide a do grupo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todos os subgrupos de
e verificar se a ordem de cada um divide a ordem do grupo. O conteúdo que vamos usar é que todo grupo cíclico finito
possui exatamente um subgrupo de cada ordem
que divide
, e esse subgrupo é gerado por
.
Passo 2
Em um grupo cíclico finito
, há bijeção entre os subgrupos e os divisores de
: para cada divisor
de
existe um único subgrupo de ordem
, que é
.
Passo 3
Encontramos os divisores de
:
Passo 4
Para cada divisor
de
, o subgrupo de ordem
em
é
. Calculamos:
Passo 5
Verificamos as ordens:
ord ,
ord ,
ord ,
ord ,
ord ,
ord .
Em cada caso a ordem divide .
ord
ord
ord
ord
ord
ord
Em cada caso a ordem divide
Resposta
Os subgrupos de
são
,
,
,
,
e .
Cada ordem divide
.
e
Cada ordem