No grupo \mathbb{Z}_{20}, determine todos os subgrupos possíveis. Verifique se a ordem de cada um divide a do grupo.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os subgrupos de \mathbb{Z}_{20} e verificar se a ordem de cada um divide a ordem do grupo. O conteúdo que vamos usar é que todo grupo cíclico finito \mathbb{Z}_{n} possui exatamente um subgrupo de cada ordem d que divide n, e esse subgrupo é gerado por \tfrac{n}{d}.

Passo 2

Em um grupo cíclico finito \mathbb{Z}_{n}, há bijeção entre os subgrupos e os divisores de n: para cada divisor d de n existe um único subgrupo de ordem d, que é \langle n/d\rangle.

Passo 3

Encontramos os divisores de 20:
\{1,\,2,\,4,\,5,\,10,\,20\}.

Passo 4

Para cada divisor d de 20, o subgrupo de ordem d em \mathbb{Z}_{20} é \langle 20/d\rangle. Calculamos:
\langle 0\rangle=\{0\}
\langle 10\rangle=\{0,10\}
\langle 5\rangle=\{0,5,10,15\}
\langle 4\rangle=\{0,4,8,12,16\}
\langle 2\rangle=\{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18\}
\langle 1\rangle=\mathbb{Z}_{20}=\{0,1,2,\dots,19\}

Passo 5

Verificamos as ordens:
ord \langle 0\rangle =1,
ord \langle 10\rangle =2,
ord \langle 5\rangle =4,
ord \langle 4\rangle =5,
ord \langle 2\rangle =10,
ord \langle 1\rangle =20.
Em cada caso a ordem divide 20.

Resposta

Os subgrupos de \mathbb{Z}_{20} são
\{0\},
\{0,10\},
\{0,5,10,15\},
\{0,4,8,12,16\},
\{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18\}
e \mathbb{Z}_{20}.
Cada ordem 1,2,4,5,10,20 divide 20.

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