Seja \varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{6}, \varphi(\mathrm{n})=[\mathrm{n}] \_6 :
a) Mostre que \varphi é um homomorfismo.
b) Determine núcleo e imagem de \varphi.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
\varphi\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_{6} por
\varphi(n) = [n]_{6},
onde \mathbb{Z} e \mathbb{Z}_{6} são grupos abelianos sob adição. O conteúdo é homomorfismo de grupos, com conceitos de núcleo e imagem.

Passo 2

Para mostrar que \varphi é homomorfismo, lembramos que isso significa
\varphi(n+m)=\varphi(n)+\varphi(m)
em \mathbb{Z}_{6}. De fato,
\varphi(n+m)=[\,n+m\,]_{6}
e, pela definição da soma em \mathbb{Z}_{6},
[\,n+m\,]_{6} = [n]_{6} + [m]_{6} = \varphi(n) + \varphi(m).
Logo, \varphi preserva a operação de adição.

Passo 3

O núcleo de \varphi é
\ker(\varphi)=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid \varphi(n)=[0]_{6}\}.
Temos \varphi(n)=[n]_{6}=[0]_{6} se, e somente se, n é múltiplo de 6. Portanto
\ker(\varphi)=6\mathbb{Z}=\{\,6k\mid k\in\mathbb{Z}\}.

Passo 4

A imagem de \varphi é
\mathrm{Im}(\varphi)=\{\,\varphi(n)\mid n\in\mathbb{Z}\}=\{[n]_{6}\mid n\in\mathbb{Z}\}.
Como todo representante [0]_{6},[1]_{6},\dots,[5]_{6} surge de algum inteiro n, segue que
\mathrm{Im}(\varphi)=\mathbb{Z}_{6}.

Resposta

\varphi é homomorfismo;
\ker(\varphi)=6\mathbb{Z};
\mathrm{Im}(\varphi)=\mathbb{Z}_{6}.

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