Seja
:
a) Mostre que
é um homomorfismo.
b) Determine núcleo e imagem de
.
a) Mostre que
b) Determine núcleo e imagem de
Passo 1
O enunciado define a aplicação
por
onde
e
são grupos abelianos sob adição. O conteúdo é homomorfismo de grupos, com conceitos de núcleo e imagem.
Passo 2
Para mostrar que
é homomorfismo, lembramos que isso significa
em
. De fato,
e, pela definição da soma em
,
Logo,
preserva a operação de adição.
Passo 3
O núcleo de
é
Temos
se, e somente se,
é múltiplo de
. Portanto
Passo 4
A imagem de
é
Como todo representante
surge de algum inteiro
, segue que