Considere a função definida por .
Determine lim x 0 h(x) e lim x 2 h(x), caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
h(x) = 1x, & se x < 0 -2, & se 0 <= x < 2 -x, & se x >= 2
Precisamos determinar os limites de quando se aproxima de 0 e de 2. Vamos precisar entender como a função se comporta à esquerda e à direita desses pontos para ver se os limites existem.
Passo 2
Vamos começar calculando . Para isso, precisamos ver o que acontece com quando se aproxima de 0 pela esquerda () e pela direita ().
Passo 3
Primeiro, olhemos o limite quando limx to 0^- h(x) = limx to 0^- 1x se aproxima de 0 pela esquerda ():
Para , a função é .
Então:
À medida que se aproxima de 0 por valores negativos, tende a . Ou seja, o limite pela esquerda é negativo infinito.
Passo 4
Agora, vamos ver o limite quando limx to 0^+ h(x) = limx to 0^+ (-2) = -2 se aproxima de 0 pela direita ():
Para , a função é .
Então:
Aqui, o valor da função é constante, então o limite pela direita é .
Passo 5
Como os limites pela esquerda ( limx to 0 h(x) não existe ) e pela direita () são diferentes (e um deles é infinito), concluímos que:
ã
Passo 6
Agora, vamos calcular . Novamente, precisamos analisar o comportamento pela esquerda () e pela direita ().
Passo 7
Primeiro, o limite pela esquerda ( limx to 2^- h(x) = limx to 2^- (-2) = -2 ):
Para limx to 2^+ h(x) = limx to 2^+ (-x) = -2 , a função é .
Então:
Agora, o limite pela direita ():
Para , a função é .
Então:
Passo 8
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais ( limx to 2 h(x) = -2 ), podemos concluir que: