Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de seções cônicas! A gente tem a equação
e precisa descobrir que tipo de seção cônica é, encontrar os vértices e focos, e fazer um desenho rápido. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar padrões nas equações das seções cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para um formato mais familiar. A equação dada é:
Vamos colocar todos os termos de um lado para facilitar a análise:
Agora, vamos reescrever colocando os termos de
juntos:
Passo 3
Para identificar o tipo de seção cônica, vamos completar o quadrado nos termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 5
Essa é a forma padrão da equação da elipse:
Comparando com a nossa equação:
Identificamos que:
- Centro da elipse:
-
então -
então
Passo 6
Os vértices da elipse estão a uma distância de
do centro ao longo do eixo maior. Como
, o eixo maior é horizontal.
Então, os vértices são:
Para encontrar os focos, usamos a fórmula
:
Então, os focos são:
Resposta
A equação
representa uma elipse com centro em
. Os vértices estão em
e
, e os focos estão em
e
. O esboço da elipse é uma figura oval simétrica em relação ao eixo
, com os vértices e focos conforme identificados.