Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Fourier da função que é periódica com período 4. Isso significa que vamos expressar como uma soma infinita de senos e cossenos. A função está definida da seguinte forma:
Vamos precisar usar as fórmulas para os coeficientes da série de Fourier e entender um pouco sobre funções pares e ímpares para simplificar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar, ou nenhuma das duas. Uma função é par se e ímpar se .
Observando
Vemos que
Comparando com :
Vemos que , então a função é ímpar. Isso simplifica nossa série de Fourier, pois para funções ímpares, os coeficientes de cosseno são zero.
Passo 3
Como a função é ímpar, a série de Fourier será composta apenas pelos termos de senos. A forma geral da série de Fourier para uma função ímpar é:
Onde:
é metade do período. Como o período é 4, .
Os coeficientes são calculados por:
Como a função é ímpar, podemos integrar de 0 a L e multiplicar por 2:
Passo 4
Substituindo na fórmula dos coeficientes:
Agora, vamos olhar a definição de no intervalo de 0 a 2:
Então, a integral fica assim:
Passo 5
Vamos calcular a integral . Para isso, usaremos a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando a segunda integral:
Portanto, a integral original fica:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Para :
Para :
Então, o valor da integral é:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral no coeficiente :
Podemos simplificar isso observando que e têm valores específicos dependendo de . Por exemplo:
Quando é par, e alterna entre 1 e -1.
Quando é ímpar, alterna entre 0 e -1 ou 1, e tem valores específicos.
Isso nos ajuda a identificar quais termos da série serão não nulos.
Passo 7
Finalmente, montamos a série de Fourier utilizando os coeficientes :