Encontre a série de Fourier de f(x).
f(x) = { 0, -2 <= x <= -1, x, -1 < x < 1, 0, 1 <= x < 2, f(x+4) = f(x) };

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Fourier da função que é periódica com período 4. Isso significa que vamos expressar como uma soma infinita de senos e cossenos. A função está definida da seguinte forma:
Vamos precisar usar as fórmulas para os coeficientes da série de Fourier e entender um pouco sobre funções pares e ímpares para simplificar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar, ou nenhuma das duas. Uma função é par se e ímpar se .
Observando
Vemos que
Comparando com :
Vemos que , então a função é ímpar. Isso simplifica nossa série de Fourier, pois para funções ímpares, os coeficientes de cosseno são zero.

Passo 3

Como a função é ímpar, a série de Fourier será composta apenas pelos termos de senos. A forma geral da série de Fourier para uma função ímpar é:
Onde:
  • é metade do período. Como o período é 4, .
  • Os coeficientes são calculados por:
Como a função é ímpar, podemos integrar de 0 a L e multiplicar por 2:

Passo 4

Substituindo na fórmula dos coeficientes:
Agora, vamos olhar a definição de no intervalo de 0 a 2:
Então, a integral fica assim:

Passo 5

Vamos calcular a integral . Para isso, usaremos a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando a segunda integral:
Portanto, a integral original fica:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Para :
Para :
Então, o valor da integral é:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral no coeficiente :
Podemos simplificar isso observando que e têm valores específicos dependendo de . Por exemplo:
  • Quando é par, e alterna entre 1 e -1.
  • Quando é ímpar, alterna entre 0 e -1 ou 1, e tem valores específicos.
Isso nos ajuda a identificar quais termos da série serão não nulos.

Passo 7

Finalmente, montamos a série de Fourier utilizando os coeficientes :
Essa é a série de Fourier da função dada.

Resposta

A série de Fourier de é dada por:

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