Considere a função definida por .
Dê o seu domínio e a sua imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função chamada que é definida de diferentes jeitos dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é encontrar o domínio (todos os valores de que a função aceita) e a imagem (todos os valores que a função pode produzir). Para isso, vamos analisar cada pedaço da função separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. A função tem três partes:
quando
quando
quando
Precisamos garantir que em cada caso, a função esteja bem definida.
Passo 3
Analisando a primeira parte, para . Sabemos que a divisão por zero não é permitida, mas como , nunca será zero aqui. Então, essa parte está ok para qualquer número negativo.
Passo 4
Agora, a segunda parte é simplesmente para . Isso significa que para qualquer entre 0 e 2, incluindo 0 mas excluindo 2, a função vai dar o valor -2. Não tem problema aqui, todos esses são válidos.
Passo 5
Por último, temos para . Aqui, estamos multiplicando por -1, o que é totalmente válido para qualquer número maior ou igual a 2. Não há restrições nessa parte.
Passo 6
Então, juntando tudo, o domínio da função inclui todos os números reais menos onde a função não está definida. No nosso caso, todas as partes estão bem definidas para , e . A única coisa a cuidar é que não pode ser zero na primeira parte, mas como essa parte já é para , não temos problema.
Passo 7
Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Para , . Quando se aproxima de zero por valores negativos, vai para menos infinito. E conforme fica mais negativo, se aproxima de zero. Então, essa parte cobre todos os números reais negativos, exceto zero.
Para , . Isso significa que nesse intervalo, a função sempre dá o valor -2.
Para , . Aqui, à medida que aumenta, fica mais negativo. Então, essa parte também cobre todos os números reais negativos a partir de -2.
Passo 8
Juntando as imagens das três partes:
A primeira parte cobre todos os números reais negativos, aproximando-se de zero.
A segunda parte dá exatamente -2.
A terceira parte cobre novamente números reais negativos começando de -2 para valores maiores de .
Então, a imagem total da função é todos os números reais negativos e o próprio -2.