Estenda
periodicamente para fora do intervalo e encontre a série de Fourier da função estendida. Qual é o limite
da série?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para estender a função
periodicamente para fora do intervalo
e encontrar a sua série de Fourier. Depois, queremos saber qual é o limite
dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender de séries de Fourier e como aplicar a fórmula para encontrar os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
que temos:
Essa função é uma função triangular definida no intervalo
. Nosso objetivo é estendê-la periodicamente e encontrar a sua representação em série de Fourier.
Passo 3
A série de Fourier de uma função periódica
com período
é dada por:
Onde os coeficientes
e
são calculados por:
Nosso primeiro passo é calcular esses coeficientes.
Passo 4
Vamos calcular
:
Substituindo
:
Calculando as integrais:
Avaliando de
a
e de
a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Novamente, substituindo
:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou consultando tabelas de integrais. Após calcular, percebemos que, devido à simetria da função
ser par, os coeficientes
serão zero.
Passo 6
Vamos calcular
:
Substituindo
:
Devido à função
ser par e
ser ímpar, essas integrais se anulam, resultando em
.
Passo 7
Com isso, nossa série de Fourier simplifica para:
Substituindo
:
Passo 8
Finalmente, o limite
da série de Fourier é simplesmente a própria função
reconstruída pela série. Ou seja, para pontos onde a função é contínua, a série de Fourier converge para
, e nos pontos de descontinuidade, converge para a média dos limites laterais.
Resposta
A série de Fourier da função estendida é:
E o limite
da série é igual à própria função
para todo
dentro do intervalo considerado.