Estenda f(x) periodicamente para fora do intervalo e encontre a série de Fourier da função estendida. Qual é o limite g(x) da série?
f(x) = { L + x, -L <= x < 0, L - x, 0 <= x < L }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para estender a função periodicamente para fora do intervalo e encontrar a sua série de Fourier. Depois, queremos saber qual é o limite dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender de séries de Fourier e como aplicar a fórmula para encontrar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
Essa função é uma função triangular definida no intervalo . Nosso objetivo é estendê-la periodicamente e encontrar a sua representação em série de Fourier.

Passo 3

A série de Fourier de uma função periódica com período é dada por:
Onde os coeficientes e são calculados por:
Nosso primeiro passo é calcular esses coeficientes.

Passo 4

Vamos calcular :
Substituindo :
Calculando as integrais:
Avaliando de a e de a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Novamente, substituindo :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou consultando tabelas de integrais. Após calcular, percebemos que, devido à simetria da função ser par, os coeficientes serão zero.

Passo 6

Vamos calcular :
Substituindo :
Devido à função ser par e ser ímpar, essas integrais se anulam, resultando em .

Passo 7

Com isso, nossa série de Fourier simplifica para:
Substituindo :

Passo 8

Finalmente, o limite da série de Fourier é simplesmente a própria função reconstruída pela série. Ou seja, para pontos onde a função é contínua, a série de Fourier converge para , e nos pontos de descontinuidade, converge para a média dos limites laterais.

Resposta

A série de Fourier da função estendida é:
E o limite da série é igual à própria função para todo dentro do intervalo considerado.

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