Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a equação
e precisamos descobrir que tipo de seção cônica ela representa. Além disso, vamos encontrar os vértices e os focos dessa cônica e fazer um esboço. Para isso, vamos usar conceitos de seções cônicas e manipular a equação para identificar suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das seções cônicas. A forma geral que vamos usar é dividindo ambos os lados da equação por 1, para que o lado direito seja igual a 1:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora que a equação está na forma padrão
, podemos identificar que estamos lidando com uma elipse. Na elipse,
representa o semi-eixo maior e
o semi-eixo menor. Vamos encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Comparando com a forma padrão, temos:
Como
, o eixo maior está ao longo do eixo
.
Passo 5
Os vértices da elipse estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Como o centro é
, os vértices são:
Para encontrar os focos, usamos a fórmula
:
Portanto, os focos estão em:
Passo 6
Para fazer o esboço da elipse, plotamos os vértices
e
no eixo
, e os pontos
e
no eixo
. Os focos ficam próximos ao centro,
e
, ligeiramente deslocados dos vértices.
Resposta
A equação
representa uma elipse com centro em
. Os vértices estão em
e
, e os focos estão em
e
. O esboço da elipse mostrará esses pontos no plano cartesiano.