Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
4 x^2 + 9 y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a equação e precisamos descobrir que tipo de seção cônica ela representa. Além disso, vamos encontrar os vértices e os focos dessa cônica e fazer um esboço. Para isso, vamos usar conceitos de seções cônicas e manipular a equação para identificar suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das seções cônicas. A forma geral que vamos usar é dividindo ambos os lados da equação por 1, para que o lado direito seja igual a 1:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora que a equação está na forma padrão , podemos identificar que estamos lidando com uma elipse. Na elipse, representa o semi-eixo maior e o semi-eixo menor. Vamos encontrar os valores de e .

Passo 4

Comparando com a forma padrão, temos:
Como , o eixo maior está ao longo do eixo .

Passo 5

Os vértices da elipse estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Como o centro é , os vértices são:
Para encontrar os focos, usamos a fórmula :
Portanto, os focos estão em:

Passo 6

Para fazer o esboço da elipse, plotamos os vértices e no eixo , e os pontos e no eixo . Os focos ficam próximos ao centro, e , ligeiramente deslocados dos vértices.

Resposta

A equação representa uma elipse com centro em . Os vértices estão em e , e os focos estão em e . O esboço da elipse mostrará esses pontos no plano cartesiano.

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