F=(e^y+z-2 y) i+(x e^y+z+y) j+e^x+y k
Calcule integral duplaS r o t F cdot d S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F definido por
F=(e^y+z-2 y) i+(x e^y+z+y) j+e^x+y k
E o que queremos calcular é a integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S, ou seja:
integral duplaS rot F cdot d S
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional de um campo vetorial e o teorema da divergência. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional de F, que é denotado por rot F ou nabla times F. O rotacional é uma medida de quão “gira” o campo vetorial em cada ponto.
Para calcular o rotacional, usamos a seguinte fórmula:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente i:
partial Fzpartial y = partialpartial y ( e^x+y ) = e^x+y
partial Fypartial z = partialpartial z ( x e^y+z + y ) = x e^y+z
Então:
i: e^x+y - x e^y+z
  1. Componente j:
partial Fxpartial z = partialpartial z ( e^y+z - 2y ) = e^y+z
partial Fzpartial x = partialpartial x ( e^x+y ) = e^x+y
Então:
j: e^y+z - e^x+y
  1. Componente k:
partial Fypartial x = partialpartial x ( x e^y+z + y ) = e^y+z
partial Fxpartial y = partialpartial y ( e^y+z - 2y ) = e^y+z - 2
Então:
k: e^y+z - (e^y+z - 2) = 2
Portanto, o rotacional de F é:
rot F = ( e^x+y - x e^y+z ) i + ( e^y+z - e^x+y ) j + 2 k

Passo 3

Agora que temos o rotacional de F, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS rot F cdot d S
Aqui, d S é o vetor área diferencial da superfície S.
Mas antes de irmos direto para a integral, vamos lembrar do Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.
Entretanto, no nosso caso, estamos lidando com o rotacional de F. Uma propriedade importante é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
nabla cdot (nabla times F) = 0

Passo 4

Considerando que a divergência de rot F é zero, podemos aplicar o Teorema da Divergência para uma superfície fechada S. Nesse caso, a integral de superfície de rot F sobre S será igual a zero:
integral duplaS rot F cdot d S = 0
Isso ocorre porque não há “fonte” ou “sumidouro” para o rotacional dentro da superfície fechada.

Resposta

O valor da integral de superfície é zero.
integral duplaS rot F cdot d S = 0

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