Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
definido por
E o que queremos calcular é a integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional de um campo vetorial e o teorema da divergência. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o rotacional de
, que é denotado por
ou
. O rotacional é uma medida de quão “gira” o campo vetorial em cada ponto.
Para calcular o rotacional, usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
- Componente
:
Então:
- Componente
:
Então:
- Componente
:
Então:
Portanto, o rotacional de
é:
Passo 3
Agora que temos o rotacional de
, vamos calcular a integral de superfície:
Aqui,
é o vetor área diferencial da superfície
.
Mas antes de irmos direto para a integral, vamos lembrar do Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.
Entretanto, no nosso caso, estamos lidando com o rotacional de
. Uma propriedade importante é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Passo 4
Considerando que a divergência de
é zero, podemos aplicar o Teorema da Divergência para uma superfície fechada
. Nesse caso, a integral de superfície de
sobre
será igual a zero:
Isso ocorre porque não há “fonte” ou “sumidouro” para o rotacional dentro da superfície fechada.
Resposta
O valor da integral de superfície é zero.