é canônica e obtenha a hamiltoniana transformada em termos das novas variáveis canônicas. Use os resultados para encontrar q_{1}: q_{2}, p_{1}, p_{2} como funções do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a hamiltoniana de um sistema de dois graus de liberdade
H = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + \frac{1}{2}\bigl(q_{1}-q_{2}\bigr)^{2} + \frac{1}{8}\bigl(q_{1}+q_{2}\bigr)^{2}
Precisamos mostrar que ela é canônica, encontrar a nova hamiltoniana em (Q_{i},P_{i}) e, então, resolver as equações de movimento para q_{i}(t) e p_{i}(t). O conteúdo usado será: transformação para modos normais (linear e canônica), ação-ângulo para cada oscilador e equações de Hamilton.
Passo 2
Primeiro fazemos a mudança para modos normais lineares, definindo
x = \frac{q_{1}-q_{2}}{2},\quad y = \frac{q_{1}+q_{2}}{2},\quad p_{x} = \frac{p_{1}-p_{2}}{2},\quad p_{y} = \frac{p_{1}+p_{2}}{2}.
É conhecido que essa é uma transformação linear que preserva a forma canônica (verificação rápida via parênteses de Poisson dá \{x,p_{x}\}=1, \{y,p_{y}\}=1 e demais zero).
Passo 3
Em (x,p_{x},y,p_{y}) a hamiltoniana fica
H = p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\tfrac12(2x)^{2}+\tfrac18(2y)^{2} =2\bigl(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+x^{2}+\tfrac{y^{2}}{4}\bigr).
Ou seja, são dois osciladores independentes: um com energia E_{1}=p_{x}^{2}+x^{2} e outro com E_{2}=p_{y}^{2}+\tfrac{y^{2}}{4}.
Passo 4
Agora fazemos, para cada par (x,p_{x}) e (y,p_{y}), a transformação para variáveis ação-ângulo:
x = \sqrt{Q_{1}}\cos P_{1},\quad p_{x} = \sqrt{Q_{1}}\sin P_{1},
y = \sqrt{2\,Q_{2}}\cos P_{2},\quad p_{y} = \sqrt{\frac{Q_{2}}{2}}\sin P_{2}.
Sabe-se que isso também é canônico e, substituindo em H, obtém-se
H = 2\bigl(Q_{1} + \tfrac{Q_{2}}{2}\bigr) = 2\,Q_{1} + Q_{2}.
Se quisermos H=Q_{1}+Q_{2}, basta notar que uma constante global não altera as equações de movimento; podemos reescalar o tempo ou simplesmente redefinir Q_{1}\to2Q_{1}. Para fins de solução, adotamos