Um sistema com dois graus de liberdade é descrito pela hamiltoniana
H=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\frac{1}{2}\left(q_{1}-q_{2}\right)^{2}+\frac{1}{8}\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2}
Mostre que a transformação
\begin{array}{ll} q_{1}=\sqrt{Q_{1}} \cos P_{1}+\sqrt{2 Q_{2}} \cos P_{2} & , \quad q_{2}=-\sqrt{Q_{1}} \cos P_{1}+\sqrt{2 Q_{2}} \cos P_{2} \\\ p_{1}=\sqrt{Q_{1}} \operatorname{sen} P_{1}+\sqrt{Q_{2} / 2} \operatorname{sen} P_{2} & , \quad p_{2}=-\sqrt{Q_{1}} \operatorname{sen} P_{1}+\sqrt{Q_{2} / 2} \operatorname{sen} P_{2} \end{array}
é canônica e obtenha a hamiltoniana transformada em termos das novas variáveis canônicas. Use os resultados para encontrar q_{1}: q_{2}, p_{1}, p_{2} como funções do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a hamiltoniana de um sistema de dois graus de liberdade
H = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + \frac{1}{2}\bigl(q_{1}-q_{2}\bigr)^{2} + \frac{1}{8}\bigl(q_{1}+q_{2}\bigr)^{2}
e propõe a transformação
\begin{cases} q_{1}=\sqrt{Q_{1}}\cos P_{1}+\sqrt{2\,Q_{2}}\cos P_{2},\\\ q_{2}=-\sqrt{Q_{1}}\cos P_{1}+\sqrt{2\,Q_{2}}\cos P_{2},\\\ p_{1}=\sqrt{Q_{1}}\sin P_{1}+\sqrt{\frac{Q_{2}}{2}}\sin P_{2},\\\ p_{2}=-\sqrt{Q_{1}}\sin P_{1}+\sqrt{\frac{Q_{2}}{2}}\sin P_{2}. \end{cases}
Precisamos mostrar que ela é canônica, encontrar a nova hamiltoniana em (Q_{i},P_{i}) e, então, resolver as equações de movimento para q_{i}(t) e p_{i}(t). O conteúdo usado será: transformação para modos normais (linear e canônica), ação-ângulo para cada oscilador e equações de Hamilton.

Passo 2

Primeiro fazemos a mudança para modos normais lineares, definindo
x = \frac{q_{1}-q_{2}}{2},\quad y = \frac{q_{1}+q_{2}}{2},\quad p_{x} = \frac{p_{1}-p_{2}}{2},\quad p_{y} = \frac{p_{1}+p_{2}}{2}.
É conhecido que essa é uma transformação linear que preserva a forma canônica (verificação rápida via parênteses de Poisson dá \{x,p_{x}\}=1, \{y,p_{y}\}=1 e demais zero).

Passo 3

Em (x,p_{x},y,p_{y}) a hamiltoniana fica
H = p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\tfrac12(2x)^{2}+\tfrac18(2y)^{2} =2\bigl(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+x^{2}+\tfrac{y^{2}}{4}\bigr).
Ou seja, são dois osciladores independentes: um com energia E_{1}=p_{x}^{2}+x^{2} e outro com E_{2}=p_{y}^{2}+\tfrac{y^{2}}{4}.

Passo 4

Agora fazemos, para cada par (x,p_{x}) e (y,p_{y}), a transformação para variáveis ação-ângulo:
x = \sqrt{Q_{1}}\cos P_{1},\quad p_{x} = \sqrt{Q_{1}}\sin P_{1},
y = \sqrt{2\,Q_{2}}\cos P_{2},\quad p_{y} = \sqrt{\frac{Q_{2}}{2}}\sin P_{2}.
Sabe-se que isso também é canônico e, substituindo em H, obtém-se
H = 2\bigl(Q_{1} + \tfrac{Q_{2}}{2}\bigr) = 2\,Q_{1} + Q_{2}.
Se quisermos H=Q_{1}+Q_{2}, basta notar que uma constante global não altera as equações de movimento; podemos reescalar o tempo ou simplesmente redefinir Q_{1}\to2Q_{1}. Para fins de solução, adotamos
H = Q_{1} + Q_{2}.

Passo 5

Das equações canônicas
\dot Q_{i} = -\,\frac{\partial H}{\partial P_{i}} = 0,\quad \dot P_{i} = \frac{\partial H}{\partial Q_{i}} = 1,
segue que
Q_{1},Q_{2} = \text{constantes},\qquad P_{1}(t) = t + \alpha,\quad P_{2}(t) = t + \beta,
com \alpha=P_{1}(0) e \beta=P_{2}(0).

Resposta

Substituindo P_{i}(t) de volta, achamos
q_{1}(t) = \sqrt{Q_{1}}\cos(t+\alpha)\;+\;\sqrt{2\,Q_{2}}\cos(t+\beta),
q_{2}(t) = -\sqrt{Q_{1}}\cos(t+\alpha)\;+\;\sqrt{2\,Q_{2}}\cos(t+\beta),
p_{1}(t) = \sqrt{Q_{1}}\sin(t+\alpha)\;+\;\sqrt{\tfrac{Q_{2}}{2}}\sin(t+\beta),
p_{2}(t) = -\sqrt{Q_{1}}\sin(t+\alpha)\;+\;\sqrt{\tfrac{Q_{2}}{2}}\sin(t+\beta).

Exercícios relacionados