Considere o Hamiltoniano de uma partícula em um problema unidimensional, definido por:
onde e são os operadores que satisfazem a relação . Os autovetores de são denotados por , onde é um índice discreto.
a) Mostre que:
onde é um coeficiente que depende da diferença entre e . Calcule (dica: considere o comutador
b) Do ítem anterior deduza, usando a relação de fechamento, a equação
Passo 1
Começamos com
e a comutação . Os autovetores satisfazem . Para a parte (a) vamos precisar do comutador , e para (b) da relação de fechamento .
Passo 2
Vamos calcular o comutador . Como e usando
segue
Tomando o elemento de matriz:
que deve ser igual a
Igualando e resolvendo para obtemos
Passo 3
Para a parte (b) usamos a relação de fechamento e escrevemos
Substituindo lang<=varphin|P|varphin'rang<= = i m (En - En')hbar lang<=varphin|X|varphin'rang<=, temos