Considere o Hamiltoniano H de uma partícula em um problema unidimensional, definido por:
H=P^22 m+V(X)
onde X e P são os operadores que satisfazem a relação [X, P]=i hbar. Os autovetores de H são denotados por n, onde lang<=varphin| P|varphin^primerang<==alphalang<=varphin| X|varphin^primerang<= é um índice discreto.
a) Mostre que:
alpha
onde En é um coeficiente que depende da diferença entre En^prime e alpha. Calcule [X, H]) (dica: considere o comutador sumn^prime(En-En^prime)^2|lang<=varphin| X| varphin^primerang<=|^2=hbar^2m^2lang<=varphin| P^2|varphin^primerang<=
b) Do ítem anterior deduza, usando a relação de fechamento, a equação

Passo 1

Começamos com
H = P^22m + V(X),
e a comutação [X,P] = ihbar. Os autovetores satisfazem H|varphinrang<= = En|varphinrang<=. Para a parte (a) vamos precisar do comutador [X,H], e para (b) da relação de fechamento sumn'|varphin'rang<=lang<=varphin'| = 1.

Passo 2

Vamos calcular o comutador [X,H]. Como [X,V(X)] = 0 e usando
[X,P^2/(2m)] = tfrac12m[X,P^2] = tfracihbarmP,
segue
[X,H] = tfracihbarmP
Tomando o elemento de matriz:
lang<=varphin|[X,H]|varphin'rang<= = (En'-En)lang<=varphin|X|varphin'rang<= = -l(En-En'r)lang<=varphin|X|varphin'rang<=,
que deve ser igual a
tfracihbarmlang<=varphin|P|varphin'rang<=
Igualando e resolvendo para lang<=varphin|P|varphin'rang<= obtemos
lang<=varphin|P|varphin'rang<= = i m (En - En')hbar lang<=varphin|X|varphin'rang<=

Passo 3

Para a parte (b) usamos a relação de fechamento e escrevemos
lang<=varphin|P^2|varphinrang<= = sumn'lang<=varphin|P|varphin'rang<=lang<=varphin'|P|varphinrang<= = sumn'l|lang<=varphin|P|varphin'rang<=r|^2
Substituindo lang<=varphin|P|varphin'rang<= = i m (En - En')hbar lang<=varphin|X|varphin'rang<=, temos
lang<=varphin|P^2|varphinrang<= = m^2hbar^2 sumn'(En - En')^2l|lang<=varphin|X|varphin'rang<=r|^2
Reorganizando, chega-se a
sumn'(En - En')^2l|lang<=varphin|X|varphin'rang<=r|^2 = hbar^2m^2lang<=varphin|P^2|varphinrang<=

Resposta

Na parte (a) obtemos
lang<=varphin|P|varphin'rang<= = i m (En - En')hbarlang<=varphin|X|varphin'rang<=,
portanto
alpha = i m (En - En')hbar
Na parte (b) concluímos
sumn'(En - En')^2l|lang<=varphin|X|varphin'rang<=r|^2 = hbar^2m^2lang<=varphin|P^2|varphinrang<=

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