Usando a relação lang<= x mid prang<==(2 pi hbar)^-12 e^i p xhbar encontre as expressões lang<= x| X P|psirang<= e lang<= x| P X|psirang<= em termos de psi(x)(lang<= x mid psirang<=). Estes resultados podem ser encontrados diretamente usando o
fato de que na representação |xrang<=, P atua como hbari dd x ?

Passo 1

Neste exercício vamos calcular lang<= x|X P|psirang<= e lang<= x|P X|psirang<= em termos de psi(x)=lang<= x|psirang<=. O conteúdo da matéria envolve representação de operadores na base de posição, usando a relação lang<= x|prang<==(2pihbar)^-1/2e^ipx/hbar, e também o fato de que na base |xrang<=, X atua por multiplicação e P por derivada.

Passo 2

Para calcular lang<= x|X P|psirang<=, inserimos a identidade no espaço de momentos:
lang<= x|X P|psirang<= = x integral-infty^inftydp,p,(2pihbar)^-12e^i p xhbarlang<= p|psirang<= = -ihbar x,partialxpsi(x) = xhbaripsi'(x)

Passo 3

Para lang<= x|P X|psirang<=, usamos que P na base de posição age como hbaripartialx agindo sobre lang<= x|X|psirang<= = xpsi(x):
lang<= x|P X|psirang<= = -ihbarpartialxl(xpsi(x)r) = hbaril(psi(x)+xpsi'(x)r)

Passo 4

Observamos que esses resultados coincidem com a representação direta em |xrang<=, onde
Xpsi(x)=xpsi(x),
Ppsi(x)=hbaripartialxpsi(x)

Resposta

lang<= x|X P|psirang<= = xhbaripsi'(x) e lang<= x|P X|psirang<= = hbaril(psi(x)+xpsi'(x)r).

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