O espaço de estado de um certo sistema físico é tridimensional. Seja |psi0rang<= & =1raiz2|u1rang<=+i2|u2rang<=+12|u3rang<= |psi1rang<= & =1raiz3|u1rang<=+iraiz3|u3rang<= uma base ortonormal deste espaço. Os kets rho0 e rho1 são definidos por:
a) Estes kets estão normalizados?
b) Calcule as matrizes e que representam, na base , os operadores de projeção sobre o estado e sobre o estado . Verifique que estas matrizes são Hermitianas

Passo 1

A questão nos dá um espaço de dimensão três com base ortonormal ,|u1rang<=,|u2rang<=,|u3rang<=. Temos dois kets:
|psi0rang<==tfrac1raiz2|u1rang<=+tfraci2|u2rang<=+tfrac12|u3rang<=,
|psi1rang<==tfrac1raiz3|u1rang<=+0,|u2rang<=+tfraciraiz3|u3rang<=
Precisamos verificar normalização ( lang<=psi|psirang<==1) e depois montar os operadores de projeção rho=|psirang<=lang<=psi| nas componentes da base.

Passo 2

Para checar a normalização, calculamos a norma ao quadrado de cada estado via soma dos quadrados dos módulos dos coeficientes:
lang<=psi0|psi0rang<==l|tfrac1raiz2r|^2+l|tfraci2r|^2+l|tfrac12r|^2=tfrac12+tfrac14+tfrac14=1,
lang<=psi1|psi1rang<==l|tfrac1raiz3r|^2+0+l|tfraciraiz3r|^2=tfrac13+tfrac13=tfrac23neq1
Logo, |psi0rang<= está normalizado e |psi1rang<= não.

Passo 3

Para montar rho0=|psi0rang<=lang<=psi0|, usamos os coeficientes
c1=1/raiz2,;c2=i/2,;c3=1/2. Assim cada elemento (rho0)ij=ci,cj^*. Na base |u1rang<=,|u2rang<=,|u3rang<= obtemos:
rho0= tfrac12 & -tfraci2raiz2 & tfrac12raiz2 tfraci2raiz2 & tfrac14 & tfraci4 tfrac12raiz2 & -tfraci4 & tfrac14

Passo 4

De modo análogo, para rho1=|psi1rang<=lang<=psi1| usamos
d1=1/raiz3,;d2=0,;d3=i/raiz3. Assim:
rho1= tfrac13 & 0 & -tfraci3 0 & 0 & 0 tfraci3 & 0 & tfrac13
É fácil ver que ambas são matrizes Hermitianas, pois (rho)ij=(rho)ji^*.

Resposta

a) O estado |psi0rang<= está normalizado e |psi1rang<= não está.
b) Os operadores de projeção na base |uirang<= são:
rho0= tfrac12 & -tfraci2raiz2 & tfrac12raiz2 tfraci2raiz2 & tfrac14 & tfraci4 tfrac12raiz2 & -tfraci4 & tfrac14 ,
rho1= tfrac13 & 0 & -tfraci3 0 & 0 & 0 tfraci3 & 0 & tfrac13

Exercícios relacionados