Seja
o operador Hamiltoniano de um sistema físico.
são autovetores de
com autovalores
a) Para um operador arbitrário
, prove a relação
b) Considere um problema unidimensional, onde o sistema físico é uma partícula de massa
e energia potencial
. Neste caso,
é escrito como
Em termos de
e
, ache os comutadores:
e
) Mostre que o elemento de matriz
(valor médio do momento no estado
) é zero
) Estabeleça uma relação entre
(valor médio da energia cinética no estado
e
. Como o valor médio da energia potencial no estado
é
, como ele está relacionado com o valor médio da energia cinética quando
?
a) Para um operador arbitrário
Passo 1
O enunciado pede que a gente use as propriedades de autovetores de um Hamiltoniano e os comutadores para mostrar resultados sobre valores médios de operadores. O conteúdo é mecânica quântica: autovalores e autovetores de Hamiltoniano, comutadores e valor médio. Vamos precisar usar a relação de autovalor H|φₙ⟩=Eₙ|φₙ⟩, as propriedades bilineares do valor médio e as identidades de comutadores, além de [X,P]=iħ.
Passo 2
Para provar que ⟨φₙ|[A,H]|φₙ⟩=0, escrevemos ⟨[A,H]⟩=⟨AH−HA⟩. Como H|φₙ⟩=Eₙ|φₙ⟩ e ⟨φₙ|H=Eₙ⟨φₙ|, temos: ⟨φₙ|AH|φₙ⟩=Eₙ⟨φₙ|A|φₙ⟩ e ⟨φₙ|HA|φₙ⟩=Eₙ⟨φₙ|A|φₙ⟩. A diferença é zero.
Passo 3
Para o Hamiltoniano H=P²/(2m)+V(X), usamos [f(X),P]=iħ f′(X) e [P²,X]=P[P,X]+[P,X]P=−2iħP. Assim:
[H,P]=[V(X),P]=iħ dV/dX
[H,X]=[P²/(2m),X]=−iħP/m
Usando [H,XP]=[H,X]P+X[H,P], vem
[H,XP]=−iħP²/m + iħ X (dV/dX).
[H,P]=[V(X),P]=iħ dV/dX
[H,X]=[P²/(2m),X]=−iħP/m
Usando [H,XP]=[H,X]P+X[H,P], vem
[H,XP]=−iħP²/m + iħ X (dV/dX).
Passo 4
Para mostrar ⟨φₙ|P|φₙ⟩=0, aplicamos o resultado geral do item (a) a A=X. Ficamos com ⟨[X,H]⟩=0, mas vimos que [H,X]=−iħP/m. Logo 0=⟨[X,H]⟩=−iħ/m ⟨P⟩ e portanto ⟨P⟩=0.
Passo 5
Para relacionar a energia cinética média E_k=⟨P²/(2m)⟩ e ⟨X dV/dX⟩, usamos ⟨[H,XP]⟩=0. Substituindo o comutador: ⟨−iħP²/m + iħ X dV/dX⟩=0, ou seja
−⟨P²/m⟩ + ⟨X dV/dX⟩=0
Dividindo por 2, obtemos
E_k=⟨P²/(2m)⟩ = ½ ⟨X dV/dX⟩.
−⟨P²/m⟩ + ⟨X dV/dX⟩=0
Dividindo por 2, obtemos
E_k=⟨P²/(2m)⟩ = ½ ⟨X dV/dX⟩.
Passo 6
Para o potencial V(X)=V₀ X^λ com λ par, dV/dX=λ V₀ X^{λ−1}, então X dV/dX=λ V(X). Assim
E_k = ½ ⟨λ V(X)⟩ = (λ/2) ⟨V⟩
Logo ⟨V⟩ = 2/λ E_k.
E_k = ½ ⟨λ V(X)⟩ = (λ/2) ⟨V⟩
Logo ⟨V⟩ = 2/λ E_k.
Resposta
a) zero para qualquer A.
α) [H,P]=iħ dV/dX, [H,X]=−iħ P/m, [H,XP]=−iħ P²/m + iħ X (dV/dX).
β) ⟨φₙ|P|φₙ⟩=0.
γ) E_k=⟨P²/(2m)⟩ = ½ ⟨X dV/dX⟩. Para V(X)=V₀ X^λ, ⟨V⟩ = (2/λ) E_k.