O operador Hamiltoniano para um sistema de dois estados é dado por:
onde
é um número com dimensão de energia. Encontre os autovalores de energia e os autokets (como combinações lineares de
e
)
Passo 1
O enunciado pede pra diagonalizar o operador Hamiltoniano de um sistema de dois níveis, obtendo os autovalores de energia e os autokets como combinações de
e
. O conteúdo principal é diagonalização de matriz 2×2: vamos precisar escrever
em forma matricial, achar o polinômio característico, extrair os autovalores e depois obter e normalizar os autovetores.
Passo 2
Na base
, o Hamiltoniano fica:
Passo 3
Para encontrar os autovalores, montamos o determinante
alequivalente a
Isso leva a
odis obtendo
Passo 4
Agora achamos os autovetores. Para
resolvemos
que dá
. Para
vem
.
Passo 5
Por fim normalizamos cada vetor. Para
:
Para
:
Passo 6
Pronto! Encontramos os autovalores e os autokets normalizados.
Resposta
Autovalores: E_+=a\sqrt2, E_-=-a\sqrt2.
Autokets:
Autokets: