O operador Hamiltoniano para um sistema de dois estados é dado por:
H=a(|1rang<=lang<= 1|-|2rang<=lang<= 2|+|1rang<=lang<= 2|+|2rang<=lang<= 1|)
onde a é um número com dimensão de energia. Encontre os autovalores de energia e os autokets (como combinações lineares de |1rang<= e |2rang<= )

Passo 1

O enunciado pede pra diagonalizar o operador Hamiltoniano de um sistema de dois níveis, obtendo os autovalores de energia e os autokets como combinações de |1rang<= e |2rang<=. O conteúdo principal é diagonalização de matriz 2×2: vamos precisar escrever H em forma matricial, achar o polinômio característico, extrair os autovalores e depois obter e normalizar os autovetores.

Passo 2

Na base lvert1rang<=,lvert2rang<=, o Hamiltoniano fica:
H=a1 & 1 1 & -1

Passo 3

Para encontrar os autovalores, montamos o determinante
detl(a1-lambda/a & 1 1 & -1-lambda/ar)=0
alequivalente a
det1-mu & 1 1 & -1-mu=0,mu=lambdaa
Isso leva a
(1-mu)(-1-mu)-1=0; Rightarrow;mu^2-2=0; Rightarrow;mu=pmraiz2,
odis obtendo
lambda= amu=pm araiz2

Passo 4

Agora achamos os autovetores. Para mu=+raiz2 resolvemos
1-raiz2 & 1 1 & -1-raiz2xy=0
que dá y=(raiz2-1)x. Para mu=-raiz2 vem y=-(raiz2+1)x.

Passo 5

Por fim normalizamos cada vetor. Para E+=araiz2:
lvertpsi+rang<==1raiz1+(raiz2-1)^2l(lvert1rang<=+(raiz2-1)lvert2rang<=r)
Para E-=-araiz2:
lvertpsi-rang<==1raiz1+(raiz2+1)^2l(lvert1rang<=-(raiz2+1)lvert2rang<=r)

Passo 6

Pronto! Encontramos os autovalores e os autokets normalizados.

Resposta

Autovalores: E_+=a\sqrt2, E_-=-a\sqrt2.
Autokets:
lvertpsi+rang<==1raiz1+(raiz2-1)^2l(lvert1rang<=+(raiz2-1)lvert2rang<=r),
lvertpsi-rang<==1raiz1+(raiz2+1)^2l(lvert1rang<=-(raiz2+1)lvert2rang<=r)

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