Considere a hélice no espaço
, parametrizada por
, orientada de baixo para cima, e o campo
Calcule
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde estão dadas as seguintes informações:
- A curva (hélice)
está parametrizada por
e orientada de baixo para cima (a parametrização já aumenta a coordenada
quando
cresce).
- O campo vetorial é
O que se pede: calcular o valor numérico da integral de linha
.
Passo 2
Princípio usado (fórmula de prática): se uma curva
é dada por uma parametrização
para
e se
, então a integral de linha é
Explicando:
é o vetor velocidade
. O produto escalar
é a soma componente a componente:
. Então o problema vira uma integral em
no intervalo dado.
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização (vetor velocidade). A parametrização é
. Derivando cada componente em relação a
:
Explicação curta: a derivada de
é
, de
é
, e de
é
.
Passo 4
Substituir a parametrização em
para obter
. Como
e
, fazemos
,
,
. Assim
Simplificando constantes:
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Usamos as componentes já obtidas:
Agora multiplicamos termo a termo:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
Somando:
Usamos a identidade fundamental trigonométrica
. Assim os dois primeiros termos somam
. Então o integrando simplifica para
Comentário amigo: adorável como tudo se simplifica — isso faz a integral ficar bem direta.
Passo 6
Montar e calcular a integral em
. Pelo Passo 2 e pelo integrando do Passo 5,
Agora calculamos a primitiva de
: uma antiderivada é
. Avaliando entre
e
:
Calcule
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