Considere a hélice no espaço C_{4}, parametrizada por \varphi, orientada de baixo para cima, e o campo \vec{F}
\varphi(\theta)=(\cos (\theta), \operatorname{sen}(\theta), 2 \theta), \theta \in[0,2 \pi] ; \vec{F}(x, y, z)=(-y z, x z, z)
Calcule \int_{C_{4}} \vec{F} \cdot d \vec{r}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C_{4}} \vec{F}\cdot d\vec{r} onde estão dadas as seguintes informações:
  • A curva (hélice) C_{4} está parametrizada por
\varphi(\theta) = (\cos(\theta),\;\sin(\theta),\;2\theta),\qquad \theta\in[0,2\pi],
e orientada de baixo para cima (a parametrização já aumenta a coordenada z quando \theta cresce).
  • O campo vetorial é
\vec{F}(x,y,z) = (-y z,\; x z,\; z).
O que se pede: calcular o valor numérico da integral de linha \displaystyle \int_{C_{4}} \vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Princípio usado (fórmula de prática): se uma curva C é dada por uma parametrização \varphi(\theta)=(x(\theta),y(\theta),z(\theta)) para \theta\in[a,b] e se \vec{F}(x,y,z)=(P,Q,R), então a integral de linha é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\varphi(\theta))\cdot \varphi'(\theta)\,d\theta.
Explicando: \varphi'(\theta) é o vetor velocidade (x'(\theta),y'(\theta),z'(\theta)). O produto escalar \vec{F}(\varphi(\theta))\cdot\varphi'(\theta) é a soma componente a componente: P(x(\theta),y(\theta),z(\theta))\cdot x'(\theta)+Q(\dots)\cdot y'(\theta)+R(\dots)\cdot z'(\theta). Então o problema vira uma integral em \theta no intervalo dado.

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização (vetor velocidade). A parametrização é \varphi(\theta)=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;2\theta). Derivando cada componente em relação a \theta:
\varphi'(\theta)=(-\sin\theta,\;\cos\theta,\;2).
Explicação curta: a derivada de \cos\theta é -\sin\theta, de \sin\theta é \cos\theta, e de 2\theta é 2.

Passo 4

Substituir a parametrização em \vec{F} para obter \vec{F}(\varphi(\theta)). Como \vec{F}(x,y,z)=(-y z,\; x z,\; z) e \varphi(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta,2\theta), fazemos x=\cos\theta, y=\sin\theta, z=2\theta. Assim
\vec{F}(\varphi(\theta)) = (-y z,\; x z,\; z) = (-\sin\theta\cdot 2\theta,\; \cos\theta\cdot 2\theta,\; 2\theta).
Simplificando constantes:
\vec{F}(\varphi(\theta)) = (-2\theta\sin\theta,\; 2\theta\cos\theta,\; 2\theta).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}(\varphi(\theta))\cdot\varphi'(\theta). Usamos as componentes já obtidas:
\vec{F}(\varphi(\theta))\cdot\varphi'(\theta) = (-2\theta\sin\theta)(-\sin\theta) + (2\theta\cos\theta)(\cos\theta) + (2\theta)(2).
Agora multiplicamos termo a termo:
  • Primeiro termo: (-2\theta\sin\theta)(-\sin\theta)=2\theta\sin^2\theta.
  • Segundo termo: (2\theta\cos\theta)(\cos\theta)=2\theta\cos^2\theta.
  • Terceiro termo: (2\theta)(2)=4\theta.
    Somando:
\vec{F}(\varphi(\theta))\cdot\varphi'(\theta) = 2\theta\sin^2\theta + 2\theta\cos^2\theta + 4\theta.
Usamos a identidade fundamental trigonométrica \sin^2\theta+\cos^2\theta=1. Assim os dois primeiros termos somam 2\theta\cdot 1 = 2\theta. Então o integrando simplifica para
\vec{F}(\varphi(\theta))\cdot\varphi'(\theta) = 2\theta + 4\theta = 6\theta.
Comentário amigo: adorável como tudo se simplifica — isso faz a integral ficar bem direta.

Passo 6

Montar e calcular a integral em \theta. Pelo Passo 2 e pelo integrando do Passo 5,
\int_{C_{4}}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{2\pi} 6\theta\, d\theta.
Agora calculamos a primitiva de 6\theta: uma antiderivada é 6\cdot \frac{\theta^2}{2}=3\theta^2. Avaliando entre 0 e 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}6\theta\,d\theta = \big[3\theta^2\big]_{0}^{2\pi} = 3(2\pi)^2 - 3(0)^2.
Calcule (2\pi)^2 = 4\pi^2. Logo
3(2\pi)^2 = 3\cdot 4\pi^2 = 12\pi^2.

Resposta

12\pi^2

Exercícios relacionados