Quais das seguintes aplicações de
são operadores lineares?
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado apresenta quatro aplicações
e pede para identificar quais são operadores lineares. O conteúdo necessário é a definição de operador linear: homogeneidade e aditividade.
Passo 2
Uma aplicação
é linear se, e só se, para todos
e todo escalar
, vale
Equivalentemente, cada coordenada de
deve ser uma combinação linear homogênea dos componentes
(sem termos quadráticos, constantes ou mistos não lineares) e
.
Passo 3
Verificando
:
, cada coordenada é da forma
e
.
também é uma combinação linear homogênea dos componentes.
tem cada coordenada igual a
.
Logo ,
e
satisfazem homogeneidade e aditividade.
Logo
Passo 4
Para
, o primeiro componente contém o termo
, que é quadrático em
. Isso viola a homogeneidade (por exemplo
). Portanto
não é linear.