Quais das seguintes aplicações de R^3 em R^3 são operadores lineares?
(a) F1(x, y, z)=(x-y, x+y, 0);
(b) F2(x, y, z)=(2 x-y+z, 0,0);
(c) F3(x, y, z)=(x, x, x);
(d) F4(x, y, z)=(2 x^2+3 y, x, z).

Passo 1

O enunciado apresenta quatro aplicações Ficolon R^3toR^3 e pede para identificar quais são operadores lineares. O conteúdo necessário é a definição de operador linear: homogeneidade e aditividade.

Passo 2

Uma aplicação F é linear se, e só se, para todos u,vinR^3 e todo escalar c, vale
F(u+v)=F(u)+F(v),
F(c,u)=c,F(u)
Equivalentemente, cada coordenada de F(x,y,z) deve ser uma combinação linear homogênea dos componentes x,y,z (sem termos quadráticos, constantes ou mistos não lineares) e F(0,0,0)=(0,0,0).

Passo 3

Verificando F1,F2,F3:
F1(x,y,z)=(x-y,x+y,0), cada coordenada é da forma a x+b y+c z e F1(0,0,0)=(0,0,0).
F2(x,y,z)=(2x - y + z,0,0) também é uma combinação linear homogênea dos componentes.
F3(x,y,z)=(x,x,x) tem cada coordenada igual a 1cdot x + 0cdot y + 0cdot z.
Logo F1, F2 e F3 satisfazem homogeneidade e aditividade.

Passo 4

Para F4(x,y,z)=(2x^2+3y,x,z), o primeiro componente contém o termo 2x^2, que é quadrático em x. Isso viola a homogeneidade (por exemplo F4(2,0,0)=(8,2,0)neq 2,(F4(1,0,0))=2,(2,1,0)=(4,2,0)). Portanto F4 não é linear.

Resposta

F1, F2 e F3 são operadores lineares; F4 não é operador linear.

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