Mostre que dois dos vetores A B, A C, A D são LI e que um dos três é soma dos outros dois.

Passo 1

O enunciado trata de um paralelogramo ABCD. Precisamos usar dois conceitos de geometria vetorial:
  1. Linearidade e independência linear de dois vetores (não serem colineares).
  2. Regra do paralelogramo (ou do triângulo) para somar vetores.
O objetivo é identificar dois vetores dentre AB,AC,AD que sejam linearmente independentes e mostrar que o terceiro é a soma dos dois.

Passo 2

Em qualquer paralelogramo, os lados adjacentes saindo de A não são colineares, isto é, AB e AD não estão na mesma reta. Para ver que eles são independentes, suponha
alpha,AB + beta,AD = 0
Se AB e AD fossem colineares, B, A, D estariam alinhados, mas num paralelogramo isso não ocorre. Logo, a única solução é alpha=beta=0, e concluímos que
ABeAD
são linearmente independentes.

Passo 3

Agora usamos o “método do triângulo” ou a regra do paralelogramo para relacionar os vértices A, B, C, D. Como em todo paralelogramo temos BC=AD, ao percorrer de A a C passando por B vemos
AC =AB+BC =AB+AD

Resposta

AB e AD são linearmente independentes, e
AC = AB + AD

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